Ωραία συνευθειακότητα

KARKAR · #1

: Ωραία συνευθειακότητα.png (11.64 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Τα σημεία N , S

είναι ο βόρειος και ο νότιος πόλοι ενός κύκλου και η

μια οριζόντια

χορδή του . Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, του οποίου η υποτείνουσα

διέρχεται από το

και φέρουμε το ύψος

. Δείξτε ότι το

, το μέσο

του

και το

είναι συνευθειακά .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 28, 2021 7:20 pm
Ωραία συνευθειακότητα.pngΤα σημεία είναι ο βόρειος και ο νότιος πόλοι ενός κύκλου και η μια οριζόντια

χορδή του . Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο , του οποίου η υποτείνουσα

διέρχεται από το και φέρουμε το ύψος . Δείξτε ότι το , το μέσο του

και το είναι συνευθειακά .

Προεκτείνουμε την

ώστε να τμήσει την

στο

. Είναι

(και οι δύο κάθετες στην

) άρα η

τέμνει την

στο μέσον της καθώς τέμνει την

στο μέσον της. Με άλλα λόγια το

είναι το μέσον της

. Τώρα, επειδή η $\angle CBD$ είναι ορθή (ως γωνία ημικυκλίου) έχουμε AT//DB

. Έπεται ότι η

τέμνει την

στο μέσον της

. Αυτό είναι το αποδεικτέο.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 28, 2021 7:20 pm
Ωραία συνευθειακότητα.pngΤα σημεία είναι ο βόρειος και ο νότιος πόλοι ενός κύκλου και η μια οριζόντια

χορδή του . Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο , του οποίου η υποτείνουσα

διέρχεται από το και φέρουμε το ύψος . Δείξτε ότι το , το μέσο του

και το είναι συνευθειακά .

: Ωραία συνευθειακότητα.png (14.62 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής των $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ . Οι NS//EC

για τι και οι δύο είναι κάθετες στην

.

Αφού όμως η

διέρχεται από το κέντρο

του κύκλου και έιναι κάθετη στην χορδή

θα διέρχεται από το μέσο , έστω

της

.

Άμεσες συνέπειες : Τα $N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ είναι μέσα των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE$ .

Όμως οι $AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EB$ είναι κάθετες στην

, άρα παράλληλες. Έτσι η

θα περνά και από το μέσο της

.

Παρατήρηση
Όταν είδα την άσκηση , είδα αλλά δεν διάβασα ότι είχε λυθεί από τον Κ. Λάμπρου .

Τώρα βλέπω ( και με τιμά αυτό ) ότι κάναμε ίδιες σκέψεις . την αφήνω για τον κόπο και για το σχήμα.

#4

Νίκο, η τιμή είναι δική μου.

Έχουμε στο φόρουμ άπιαστους Γεωμέτρες, που άμα πλησιάσω αργά και που τις μελωδίες τους, με χαροποιεί.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 28, 2021 7:20 pm
Ωραία συνευθειακότητα.pngΤα σημεία είναι ο βόρειος και ο νότιος πόλοι ενός κύκλου και η μια οριζόντια

χορδή του . Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο , του οποίου η υποτείνουσα

διέρχεται από το και φέρουμε το ύψος . Δείξτε ότι το , το μέσο του

και το είναι συνευθειακά .

είναι ορθογώνιο ,συνεπώς QNLA

είναι παραλ/μμο,άρα AK=LT

οπότε

κι αν $SM \cap QN=P$ από θ.κ.δέσμης είναι QP=PN

Τότε, $\dfrac{AM}{MT}= \dfrac{PQ}{PN}=1$ κι από θ.κ.δέσμης οι AC,BC,SP

συγκλίνουν στο

Αλλιώς

$CN=NB=//QS \Rightarrow CNSQ$ παραλ/μμο ,άρα η

μέσον της

κι επειδή

το

θα είναι μέσον της

: ωραία συνευθειακότητα.png (25.73 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 28, 2021 7:20 pm
Ωραία συνευθειακότητα.pngΤα σημεία είναι ο βόρειος και ο νότιος πόλοι ενός κύκλου και η μια οριζόντια

χορδή του . Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο , του οποίου η υποτείνουσα

διέρχεται από το και φέρουμε το ύψος . Δείξτε ότι το , το μέσο του

και το είναι συνευθειακά .

Θα δείξω ότι το σημείο τομής

των

είναι το μέσο του

.

Το τρίγωνο ABC

είναι όμοιο με καθένα από τα NSB, ATC,

απ' όπου $\boxed{SB = \frac{{ac}}{{2b}}}$ (1)

και $\boxed{AT = \frac{{bc}}{a}}$ (2)

: Ω.συνευθ.png (14.82 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

$\displaystyle MT||SB \Leftrightarrow \frac{{MT}}{{SB}} = \frac{{CT}}{a} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 2MT = \frac{{bc}}{a}\mathop = \limits^{(2)} AT,$ άρα

μέσο του

.

STOPJOHN · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 28, 2021 7:20 pm
Ωραία συνευθειακότητα.pngΤα σημεία είναι ο βόρειος και ο νότιος πόλοι ενός κύκλου και η μια οριζόντια

χορδή του . Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο , του οποίου η υποτείνουσα

διέρχεται από το και φέρουμε το ύψος . Δείξτε ότι το , το μέσο του

και το είναι συνευθειακά .

Καλό μήνα

Θα αποδειχθεί ότι $\dfrac{MT}{SB}=\dfrac{CT}{CB},(1),$

Απο τις μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC,\dfrac{CT}{CB}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}},(*)$

$MT=\dfrac{1}{2}AT=\dfrac{cb}{2a},(2), NP.PS=\dfrac{c^{2}}{4}\Rightarrow PS=\dfrac{c^{2}}{2b},(3), SN=\dfrac{b}{2}+\dfrac{c^{2}}{2b}=\dfrac{a^{2}}{2b},(4), SB^{2}=\dfrac{a^{2}.c^{2}}{4b^{2}}\Leftrightarrow SB=\dfrac{ac}{2b}$
Οπότε $(3),(4)\Rightarrow \dfrac{MT}{SB}=\dfrac{b^{2}}{a^{2}}(**), (*),(**)\Rightarrow (1)$

Ωραία συνευθειακότητα

Ωραία συνευθειακότητα

Re: Ωραία συνευθειακότητα

Re: Ωραία συνευθειακότητα

Re: Ωραία συνευθειακότητα

Re: Ωραία συνευθειακότητα

Re: Ωραία συνευθειακότητα

Re: Ωραία συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση