Έξοχη συνευθειακότητα

KARKAR · #1

: Έξοχη συνευθειακότητα.png (15.24 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Τα ημικύκλια του σχήματος είναι ομοκεντρικά . Από τα άκρα μιας χορδής

του μεγάλου ημικυκλίου , φέραμε

τα εφαπτόμενα προς το μικρό τμήματα ST , PQ

. Δείξτε ότι το μέσο της χορδής

και τα σημεία επαφής T , Q

είναι συνευθειακά .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 22, 2021 2:32 pm
Έξοχη συνευθειακότητα.pngΤα ημικύκλια του σχήματος είναι ομοκεντρικά . Από τα άκρα μιας χορδής του μεγάλου ημικυκλίου , φέραμε

τα εφαπτόμενα προς το μικρό τμήματα . Δείξτε ότι το μέσο της χορδής και τα σημεία επαφής

είναι συνευθειακά .

: Έξοχη συνευθειακότητα.png (20.26 KiB) Προβλήθηκε 589 φορές

Τα ορθογώνια τρίγωνα OQP, OTS

είναι ίσα γιατί OQ=OT

και

άρα $\displaystyle P\widehat OQ = T\widehat OS \Leftrightarrow Q\widehat OT = P\widehat OS,$

οπότε τα ισοσκελή OQT, OPS

είναι όμοια. Αλλά το OTMS

είναι εγγράψιμο, άρα $\displaystyle Q\widehat TO = M\widehat SO = 180^\circ - O\widehat TM.$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 22, 2021 2:32 pm
Έξοχη συνευθειακότητα.pngΤα ημικύκλια του σχήματος είναι ομοκεντρικά . Από τα άκρα μιας χορδής του μεγάλου ημικυκλίου , φέραμε

τα εφαπτόμενα προς το μικρό τμήματα . Δείξτε ότι το μέσο της χορδής και τα σημεία επαφής

είναι συνευθειακά .

Εστω ότι $\hat{MTS}=\kappa ,$ Τότε ET=TS,PM=MS

Αρα $MT//EP,\hat{PES}=\kappa ,$

Θα αποδειχθει ότι $\hat{MTS}=\hat{ETQ}$ (1)

,

Απο τη σχέση εγγεγραμμένης με αντίστοιχη επίκεντρη είναι $\hat{POS}=2\kappa ,$

και απο τη σχέση γωνίας με χορδή και εφαπτομένη με την αντιστοιχη επίκεντρη $\hat{QOT}=2\hat{ETQ}$

είναι γνωστό οτι σε ίσα αποστήματα αντιστοιχούν ίσες χορδές Αρα

$OQ=OT\Rightarrow QP=ES$

Ακομη ισχυουν οι ισότητες των τόξων $\Omega X=XP=EJ=JS$ Οπότε και τα τόξα XE=PJ

Αρα το γραμμοσκιασμένα τρίγωνα EQO,PTO

είναι ίσα και $\hat{QOT}=\hat{POS}$

και ισχύει η (1)

$\hat{MTP}+\hat{PTQ}=180^{0}$ και τα σημεία M,T,Q

Είναι συνευθειακά

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 22, 2021 2:32 pm
Έξοχη συνευθειακότητα.pngΤα ημικύκλια του σχήματος είναι ομοκεντρικά . Από τα άκρα μιας χορδής του μεγάλου ημικυκλίου , φέραμε

τα εφαπτόμενα προς το μικρό τμήματα . Δείξτε ότι το μέσο της χορδής και τα σημεία επαφής

είναι συνευθειακά .

Λίγο διαφορετικά (παίρνω από το Γιώργο την ισότητα των τριγώνων)

Από την ισότητα των τριγώνων PQO,TSO

οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες άρα P,E,O,S

ομοκυκλικά και QTM

είναι η

ευθεία Simson του τριγώνου PES

: έξοχη συνευθειακότητα.png (59.07 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 22, 2021 2:32 pm
Έξοχη συνευθειακότητα.pngΤα ημικύκλια του σχήματος είναι ομοκεντρικά . Από τα άκρα μιας χορδής του μεγάλου ημικυκλίου , φέραμε

τα εφαπτόμενα προς το μικρό τμήματα . Δείξτε ότι το μέσο της χορδής και τα σημεία επαφής

είναι συνευθειακά .

: έξοχη συνευθειακότητα.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές

Ας είναι

η τομή των ευθειών $ST\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PQ$ και

το άλλο σημείο τομής της

με το ημικύκλιο.

Επειδή τα αποστήματα προς τις χορδές που εφάπτονται στα $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q$ είναι ίσα ,

οι αντίστοιχες χορδές θα είναι ίσες άρα και τα μισά τους : $PQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TG$ είναι ίσα .

Όμως είναι ίσα τα εφαπτόμενα τμήματα , $FT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FQ$ οπότε οι ευθείες $GP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QT$ είναι παράλληλες , συνεπώς η

διέρχεται από το μέσο της χορδής

.

Έξοχη συνευθειακότητα

Έξοχη συνευθειακότητα

Re: Έξοχη συνευθειακότητα

Re: Έξοχη συνευθειακότητα

Re: Έξοχη συνευθειακότητα

Re: Έξοχη συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση