Έξοχη συνευθειακότητα

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12313
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Έξοχη συνευθειακότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 22, 2021 2:32 pm

Έξοχη  συνευθειακότητα.png
Έξοχη συνευθειακότητα.png (15.24 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Τα ημικύκλια του σχήματος είναι ομοκεντρικά . Από τα άκρα μιας χορδής SP του μεγάλου ημικυκλίου , φέραμε

τα εφαπτόμενα προς το μικρό τμήματα ST , PQ . Δείξτε ότι το μέσο της χορδής M και τα σημεία επαφής T , Q

είναι συνευθειακά .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10169
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Έξοχη συνευθειακότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 22, 2021 6:37 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 22, 2021 2:32 pm
Έξοχη συνευθειακότητα.pngΤα ημικύκλια του σχήματος είναι ομοκεντρικά . Από τα άκρα μιας χορδής SP του μεγάλου ημικυκλίου , φέραμε

τα εφαπτόμενα προς το μικρό τμήματα ST , PQ . Δείξτε ότι το μέσο της χορδής M και τα σημεία επαφής T , Q

είναι συνευθειακά .
Έξοχη συνευθειακότητα.png
Έξοχη συνευθειακότητα.png (20.26 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές
Τα ορθογώνια τρίγωνα OQP, OTS είναι ίσα γιατί OQ=OT και OP=OS, άρα \displaystyle P\widehat OQ = T\widehat OS \Leftrightarrow Q\widehat OT = P\widehat OS,

οπότε τα ισοσκελή OQT, OPS είναι όμοια. Αλλά το OTMS είναι εγγράψιμο, άρα \displaystyle Q\widehat TO = M\widehat SO = 180^\circ  - O\widehat TM.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2007
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Έξοχη συνευθειακότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Δευ Φεβ 22, 2021 6:55 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 22, 2021 2:32 pm
Έξοχη συνευθειακότητα.pngΤα ημικύκλια του σχήματος είναι ομοκεντρικά . Από τα άκρα μιας χορδής SP του μεγάλου ημικυκλίου , φέραμε

τα εφαπτόμενα προς το μικρό τμήματα ST , PQ . Δείξτε ότι το μέσο της χορδής M και τα σημεία επαφής T , Q

είναι συνευθειακά .
Εστω ότι \hat{MTS}=\kappa , Τότε ET=TS,PM=MS Αρα MT//EP,\hat{PES}=\kappa ,


Θα αποδειχθει ότι \hat{MTS}=\hat{ETQ}(1),

Απο τη σχέση εγγεγραμμένης με αντίστοιχη επίκεντρη είναι \hat{POS}=2\kappa ,

και απο τη σχέση γωνίας με χορδή και εφαπτομένη με την αντιστοιχη επίκεντρη \hat{QOT}=2\hat{ETQ}

είναι γνωστό οτι σε ίσα αποστήματα αντιστοιχούν ίσες χορδές Αρα

OQ=OT\Rightarrow QP=ES

Ακομη ισχυουν οι ισότητες των τόξων\Omega X=XP=EJ=JS Οπότε και τα τόξα XE=PJ


Αρα το γραμμοσκιασμένα τρίγωνα EQO,PTO είναι ίσα και \hat{QOT}=\hat{POS}

και ισχύει η (1)

\hat{MTP}+\hat{PTQ}=180^{0} και τα σημεία M,T,Q Είναι συνευθειακά
Συνημμένα
Εξοχη συνευθειακότητα.png
Εξοχη συνευθειακότητα.png (126.04 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1968
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Έξοχη συνευθειακότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Φεβ 22, 2021 7:27 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 22, 2021 2:32 pm
Έξοχη συνευθειακότητα.pngΤα ημικύκλια του σχήματος είναι ομοκεντρικά . Από τα άκρα μιας χορδής SP του μεγάλου ημικυκλίου , φέραμε

τα εφαπτόμενα προς το μικρό τμήματα ST , PQ . Δείξτε ότι το μέσο της χορδής M και τα σημεία επαφής T , Q

είναι συνευθειακά .
Λίγο διαφορετικά (παίρνω από το Γιώργο την ισότητα των τριγώνων)

Από την ισότητα των τριγώνων PQO,TSO οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες άρα P,E,O,S ομοκυκλικά και QTM είναι η

ευθεία Simson του τριγώνου PES
έξοχη συνευθειακότητα.png
έξοχη συνευθειακότητα.png (59.07 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7788
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Έξοχη συνευθειακότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Φεβ 22, 2021 9:48 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 22, 2021 2:32 pm
Έξοχη συνευθειακότητα.pngΤα ημικύκλια του σχήματος είναι ομοκεντρικά . Από τα άκρα μιας χορδής SP του μεγάλου ημικυκλίου , φέραμε

τα εφαπτόμενα προς το μικρό τμήματα ST , PQ . Δείξτε ότι το μέσο της χορδής M και τα σημεία επαφής T , Q

είναι συνευθειακά .
έξοχη συνευθειακότητα.png
έξοχη συνευθειακότητα.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές
Ας είναι F η τομή των ευθειών ST\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PQ και G το άλλο σημείο τομής της ST με το ημικύκλιο.

Επειδή τα αποστήματα προς τις χορδές που εφάπτονται στα T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q είναι ίσα ,

οι αντίστοιχες χορδές θα είναι ίσες άρα και τα μισά τους : PQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TG είναι ίσα .

Όμως είναι ίσα τα εφαπτόμενα τμήματα , FT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FQ οπότε οι ευθείες GP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QT είναι παράλληλες , συνεπώς η QT διέρχεται από το μέσο της χορδής PS.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης