Ώρα εφαπτομένης 86

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12313
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 86

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 23, 2021 8:34 pm

Ώρα  εφαπτομένης  86.png
Ώρα εφαπτομένης 86.png (8.92 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές
Στο σχήμα είναι a>b και ο κυκλικός τομέας εφάπτεται της OA .

Αν : \tan\theta =2 , υπολογίστε την : \tan\phi .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13145
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 23, 2021 9:33 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 23, 2021 8:34 pm
Ώρα εφαπτομένης 86.pngΣτο σχήμα είναι a>b και ο κυκλικός τομέας εφάπτεται της OA .

Αν : \tan\theta =2 , υπολογίστε την : \tan\phi .
Είναι \angle OAB = \theta /2, οπότε ζητάμε ουσιαστικά το \tan \frac {\theta }{2} = \cot \phi. Αλλά

2= \tan \theta = \dfrac {2 \tan (\theta /2) }{1- \tan ^2 (\theta /2)} . Λύνοντας, \tan (\theta /2) = \Phi -1 , άρα \tan \phi = \dfrac {1}{\Phi -1}=\Phi.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιαν 23, 2021 10:51 pm

Καλό βράδυ! Με μικρή μόνο παραλλαγή προς το τέλος της λύσης, με χρήση και του σχήματος
tan86.png
tan86.png (71.18 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
Έχουμε \varphi =\dfrac{\pi -\theta }{2} ενώ δίνεται tan\theta =2. Θέτω OA=1 και OB=x . Τότε OE=2...BE=2-x ενώ AE=\sqrt{5}

Το Θ.διχοτόμου δίνει \dfrac{2-x}{x}=\sqrt{5}\Rightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1} οπότε tan\varphi = \dfrac{1}{x}=\Phi

\Phi ιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7788
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 24, 2021 1:27 am

¨Ώρα εφαπτομένης 86.png
¨Ώρα εφαπτομένης 86.png (22.88 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές
Σε σημείο A κύκλου \left( {K,R} \right) φέρνω εφαπτόμενο τμήμα SA = 2R .

Η ημιευθεία SK τέμνει, κατά σειρά, τον κύκλο στα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T. Η προβολή του B στην SA έστω O.

Αν H η προβολή του A στη διάμετρο BT , τότε η AB είναι διχοτόμος του \vartriangle AHS και η τετράδα ,\left( {H,S\backslash T,B} \right) είναι αρμονική .

Επειδή , S{A^2} = SB \cdot ST αν SB = k θα έχω: 4{R^2} = k\left( {k + 2R} \right) και αν \boxed{2R = kx} η σχέση δίδει:

{k^2}{x^2} = k\left( {k + kx} \right) \Rightarrow {x^2} = x + 1 \Rightarrow \boxed{x = \varphi  = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} .

Από το Θ. διχοτόμου στο \vartriangle AHS έχω: \dfrac{{AS}}{{AH}} = \dfrac{{BS}}{{BH}} \Rightarrow \dfrac{{2R}}{a} = \dfrac{k}{b} \Rightarrow \boxed{\frac{a}{b} = \frac{{2R}}{k} = x = \varphi } .

Δηλαδή \boxed{\tan \phi  = \varphi }.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10169
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 24, 2021 9:43 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 23, 2021 8:34 pm
Ώρα εφαπτομένης 86.pngΣτο σχήμα είναι a>b και ο κυκλικός τομέας εφάπτεται της OA .

Αν : \tan\theta =2 , υπολογίστε την : \tan\phi .
Αν φέρω το ύψος BE του τριγώνου BAK τότε προφανώς KE=\dfrac{a}{2} και με Π. Θ στο BKE έχω:
Ώρα εφαπτομένης.86.png
Ώρα εφαπτομένης.86.png (9.19 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές
\displaystyle {\left( {\frac{a}{2} + b} \right)^2} = {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow {a^2} - ab - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{\tan \varphi  = \frac{a}{b} = \Phi }


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιαν 24, 2021 12:50 pm

Χαιρετώ και πάλι! Σε επανάληψη η ωραία λύση του Γιώργου , με άλλα λόγια και μέρος του σχήματος αυτής
tan 86 II.png
tan 86 II.png (76.54 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές
Σύμφωνα με το σχήμα 21 (παράγραφος 9.7) του σχολικού είναι \dfrac{a}{b}=\Phi . Φιλικά, Γιώργος.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2007
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Ιαν 24, 2021 7:06 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 23, 2021 8:34 pm
Ώρα εφαπτομένης 86.pngΣτο σχήμα είναι a>b και ο κυκλικός τομέας εφάπτεται της OA .

Αν : \tan\theta =2 , υπολογίστε την : \tan\phi .
tan\phi =\dfrac{a}{b}=x


tan\theta =\dfrac{OE}{ED}=2,(1), OE=\dfrac{ba}{AB}\Rightarrow OE=\dfrac{ba}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},(2),

 ED=EA-\dfrac{AB}{2}=\dfrac{2a^{2}-AB^{2}}{2AB}=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}}},(3),

   (1),(2),(3)\Rightarrow \dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}=1\Rightarrow x^{2}-x-1=0\Rightarrow x=\Phi
Συνημμένα
Ωρα εφαπτομένης 86.png
Ωρα εφαπτομένης 86.png (55.71 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Δευ Ιαν 25, 2021 10:25 am

Ας μην ξεχνάμε και την Ευκλείδεια κατασκευή του \Phi.
Συνημμένα
rsz_tan86_2.png
rsz_tan86_2.png (38.62 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης