Ώρα εφαπτομένης 86

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 86.png (8.92 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές

Στο σχήμα είναι a>b

και ο κυκλικός τομέας εφάπτεται της

.

Αν : $\tan\theta =2$ , υπολογίστε την : $\tan\phi$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 23, 2021 8:34 pm
Ώρα εφαπτομένης 86.pngΣτο σχήμα είναι και ο κυκλικός τομέας εφάπτεται της .

Αν : $\tan\theta =2$ , υπολογίστε την : $\tan\phi$ .

Είναι $\angle OAB = \theta /2$ , οπότε ζητάμε ουσιαστικά το $\tan \frac {\theta }{2} = \cot \phi$ . Αλλά

$2= \tan \theta = \dfrac {2 \tan (\theta /2) }{1- \tan ^2 (\theta /2)}$ . Λύνοντας, $\tan (\theta /2) = \Phi -1$ , άρα $\tan \phi = \dfrac {1}{\Phi -1}=\Phi$ .

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ! Με μικρή μόνο παραλλαγή προς το τέλος της λύσης, με χρήση και του σχήματος

: tan86.png (71.18 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές

Έχουμε $\varphi =\dfrac{\pi -\theta }{2}$ ενώ δίνεται $tan\theta =2$ . Θέτω OA=1

και

. Τότε

ενώ $AE=\sqrt{5}$

Το Θ.διχοτόμου δίνει $\dfrac{2-x}{x}=\sqrt{5}\Rightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$ οπότε $tan\varphi = \dfrac{1}{x}=\Phi$

$\Phi$ ιλικά, Γιώργος.

#4

: ¨Ώρα εφαπτομένης 86.png (22.88 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές

Σε σημείο

κύκλου $\left( {K,R} \right)$ φέρνω εφαπτόμενο τμήμα SA = 2R

.

Η ημιευθεία

τέμνει, κατά σειρά, τον κύκλο στα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ . Η προβολή του

στην

έστω

.

Αν

η προβολή του

στη διάμετρο

, τότε η

είναι διχοτόμος του $\vartriangle AHS$ και η τετράδα , $\left( {H,S\backslash T,B} \right)$ είναι αρμονική .

Επειδή , $S{A^2} = SB \cdot ST$ αν SB = k

θα έχω: $4{R^2} = k\left( {k + 2R} \right)$ και αν $\boxed{2R = kx}$ η σχέση δίδει:

${k^2}{x^2} = k\left( {k + kx} \right) \Rightarrow {x^2} = x + 1 \Rightarrow \boxed{x = \varphi = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}$ .

Από το Θ. διχοτόμου στο $\vartriangle AHS$ έχω: $\dfrac{{AS}}{{AH}} = \dfrac{{BS}}{{BH}} \Rightarrow \dfrac{{2R}}{a} = \dfrac{k}{b} \Rightarrow \boxed{\frac{a}{b} = \frac{{2R}}{k} = x = \varphi }$ .

Δηλαδή $\boxed{\tan \phi = \varphi }$ .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 23, 2021 8:34 pm
Ώρα εφαπτομένης 86.pngΣτο σχήμα είναι και ο κυκλικός τομέας εφάπτεται της .

Αν : $\tan\theta =2$ , υπολογίστε την : $\tan\phi$ .

Αν φέρω το ύψος

του τριγώνου BAK

τότε προφανώς $KE=\dfrac{a}{2}$ και με Π. Θ στο BKE

έχω:

: Ώρα εφαπτομένης.86.png (9.19 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

$\displaystyle {\left( {\frac{a}{2} + b} \right)^2} = {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow {a^2} - ab - {b^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \varphi = \frac{a}{b} = \Phi }$

Γιώργος Μήτσιος · #6

Χαιρετώ και πάλι! Σε επανάληψη η ωραία λύση του Γιώργου , με άλλα λόγια και μέρος του σχήματος αυτής

: tan 86 II.png (76.54 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

Σύμφωνα με το σχήμα

(παράγραφος 9.7) του σχολικού είναι $\dfrac{a}{b}=\Phi$ . Φιλικά, Γιώργος.

STOPJOHN · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 23, 2021 8:34 pm
Ώρα εφαπτομένης 86.pngΣτο σχήμα είναι και ο κυκλικός τομέας εφάπτεται της .

Αν : $\tan\theta =2$ , υπολογίστε την : $\tan\phi$ .

$tan\phi =\dfrac{a}{b}=x$

$tan\theta =\dfrac{OE}{ED}=2,(1), OE=\dfrac{ba}{AB}\Rightarrow OE=\dfrac{ba}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},(2), ED=EA-\dfrac{AB}{2}=\dfrac{2a^{2}-AB^{2}}{2AB}=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}}},(3), (1),(2),(3)\Rightarrow \dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}=1\Rightarrow x^{2}-x-1=0\Rightarrow x=\Phi$

nickchalkida · #8

Ας μην ξεχνάμε και την Ευκλείδεια κατασκευή του $\Phi$ .

Ώρα εφαπτομένης 86

Ώρα εφαπτομένης 86

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

Re: Ώρα εφαπτομένης 86

Μέλη σε σύνδεση