Διπλάσιο τετράγωνο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12306
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διπλάσιο τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 23, 2021 2:09 pm

Διπλάσιο τετράγωνο.png
Διπλάσιο τετράγωνο.png (14.57 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές
Το ABCD είναι ορθογώνιο διαστάσεων a\times b , (b>a) , ενώ το CEZH είναι τετράγωνο

με διπλάσιο εμβαδόν . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{b}{a} καθώς και το τμήμα AS , συναρτήσει του a .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13141
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διπλάσιο τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 23, 2021 2:36 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 23, 2021 2:09 pm
Διπλάσιο τετράγωνο.pngΤο ABCD είναι ορθογώνιο διαστάσεων a\times b , (b>a) , ενώ το CEZH είναι τετράγωνο

με διπλάσιο εμβαδόν . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{b}{a} καθώς και το τμήμα AS , συναρτήσει του a .
Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων CBE,\, AZE έχουμε AE=BC=b. Άρα στο BCE είναι b^2 +(b-a)^2=CE^2=(CEZH)=2(ABCD)=2ab.

Άρα 2b^2-4ab +a^2=0, από όπου, λύνοντας, b=\frac {1}{2}(2+\sqrt 2)a.

Το AS =SZ-AZ είναι άμεσο αν βρούμε το AZ. Αλλά αυτό προκύπτει από την ομοιότητα των HZS,\, AZE αφού τότε HZ:SZ=AE:ZE (οι τρεις όροι γνωστοί). Εδώ SZ=\dfrac {HZ\cdot ZE}{AE}= \dfrac {b^2+(b-a)^2}{b} που μετά τισ πράξεις δίνει SZ=2a
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Ιαν 23, 2021 6:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10163
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλάσιο τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 23, 2021 5:52 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 23, 2021 2:09 pm
Διπλάσιο τετράγωνο.pngΤο ABCD είναι ορθογώνιο διαστάσεων a\times b , (b>a) , ενώ το CEZH είναι τετράγωνο

με διπλάσιο εμβαδόν . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{b}{a} καθώς και το τμήμα AS , συναρτήσει του a .
Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι \boxed{x^2=2ab} και από την ομοιότητα των τριγώνων HSZ, ZAE είναι:
Διπλάσιο τετράγωνο.png
Διπλάσιο τετράγωνο.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές
\displaystyle \frac{{HS}}{{b - a}} = \frac{{\sqrt {2ab} }}{b} = \frac{{SZ}}{{\sqrt {2ab} }} \Rightarrow \boxed{SZ=2a} και \boxed{HS = \frac{{\sqrt {2ab} (b - a)}}{b}} Με Π. Θ τώρα στο HSZ είναι

\displaystyle 2{b^2} - 4ab + {a^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{b > a} \boxed{\frac{b}{a} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}} και \displaystyle AS = SZ - AZ = 3a - b \Leftrightarrow \boxed{AS = \frac{a}{2}\left( {4 - \sqrt 2 } \right)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες