Ισεμβαδικά ορθογώνια

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισεμβαδικά ορθογώνια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 15, 2021 8:30 pm

Ισεμβαδικά  ορθογώνια.png
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (11.59 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές
Τα ορθογώνια OASB , OCTD είναι ισεμβαδικά . Τα N ,M είναι τα μέσα των AS , CT και : L\equiv AC\cap NM .

α) Δείξτε ότι : AD \parallel BC ... β) Υπολογίστε την : \tan\widehat{ALN} , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις a,b,c,d .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 15, 2021 9:17 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 8:30 pm
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Τα ορθογώνια OASB , OCTD είναι ισεμβαδικά . Τα N ,M είναι τα μέσα των AS , CT και : L\equiv AC\cap NM .

α) Δείξτε ότι : AD \parallel BC ... β) Υπολογίστε την : \tan\widehat{ALN} , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις a,b,c,d .
Η υπόθεση ισεμβαδικότητας γράφεται ab=cd, οπότε b/c=d/a. Άρα έχουμε OAB \sim ODA με ίσες τις ομόλογες γωνίες A και C, από όπου η ζητούμενη παραλληλία.

Αν φέρουμε την μεσοπαράλληλη από το M στο OCTD, έχουμε την για την εφαπτομένη \tan \theta (με βάση την γωνία στο M που σχηματίσττηκε από την μεσοπαράλληλο)

\tan \theta = \dfrac {b/2 +d/2}{c+a} .

Άρα

\displaystyle{\tan \theta =\dfrac {b/2 +d/2}{c+a}  =  \dfrac {\frac {b}{2} +\frac {ab}{2c}}{c+a}  = =\dfrac {b}{2c}}

Edit: Έκανα διόρθωση.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Ιαν 16, 2021 8:18 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1449
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιαν 15, 2021 11:28 pm

Καλό βράδυ σε όλους!
KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 8:30 pm
Τα ορθογώνια OASB , OCTD είναι ισεμβαδικά . Τα N ,M είναι τα μέσα των AS , CT και : L\equiv AC\cap NM .

α) Δείξτε ότι : AD \parallel BC ... β) Υπολογίστε την : \tan\widehat{ALN} , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις a,b,c,d .
Ισεμβαδικά...png
Ισεμβαδικά...png (171.72 KiB) Προβλήθηκε 372 φορές
α) Είναι (BCD)=(BCA) άρα τα A,D ισαπέχουν από την βάση BC δηλ. AD \parallel BC

Αντί για απάντηση στο β) ας μου επιτραπεί να θέσω το ζητούμενο:

Να εξεταστεί αν είναι FC \parallel MN όπου F το μέσον της OB... Φιλικά, Γιώργος


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 16, 2021 1:04 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 11:28 pm
Αντί για απάντηση στο β) ας μου επιτραπεί να θέσω το ζητούμενο:

Να εξεταστεί αν είναι FC \parallel MN όπου F το μέσον της OB... Φιλικά, Γιώργος
Ισχύει. Πράγματι, η κλίση της CF είναι \dfrac {FO}{CO}= \dfrac {b}{2c}, που είναι η ίδια με την κλίση της MN (βλέπε λίγα ποστ παραπάνω).

Edit: Έκανα διόρθωση.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Ιαν 16, 2021 8:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιαν 16, 2021 2:00 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 8:30 pm
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Τα ορθογώνια OASB , OCTD είναι ισεμβαδικά . Τα N ,M είναι τα μέσα των AS , CT και : L\equiv AC\cap NM .

α) Δείξτε ότι : AD \parallel BC ... β) Υπολογίστε την : \tan\widehat{ALN} , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις a,b,c,d .
1.ab=cd \Rightarrow  \dfrac{c}{a}= \dfrac{b}{d} \Rightarrow  \dfrac{CO}{OA} = \dfrac{BO}{OD}   \Rightarrow BC//AD

2. tan \theta = \dfrac{EM}{EN}= \dfrac{ \dfrac{b}{2}+ \dfrac{d}{2}  }{a+c}= \dfrac{b+d}{2(a+c)}  .

Αλλά  (ZBDT)=(SACZ) \Rightarrow (b+d)c=(a+c)b \Rightarrow b+d= \dfrac{(a+c)b }{c} άρα, tan \theta = \dfrac{b}{2c}

Για το ερώτημα του Γιώργου Μήτσιου, tan \phi = \dfrac{EC}{EF}= \dfrac{b}{2c}=tan \theta  \Rightarrow  \phi = \theta  \Rightarrow  CF//MN
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (24.48 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Ιαν 16, 2021 2:10 am

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Σάβ Ιαν 16, 2021 2:00 am
KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 8:30 pm
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Τα ορθογώνια OASB , OCTD είναι ισεμβαδικά . Τα N ,M είναι τα μέσα των AS , CT και : L\equiv AC\cap NM .

α) Δείξτε ότι : AD \parallel BC ... β) Υπολογίστε την : \tan\widehat{ALN} , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις a,b,c,d .
1.ab=cd \Rightarrow  \dfrac{c}{a}= \dfrac{b}{d} \Rightarrow  \dfrac{CO}{OA} = \dfrac{BO}{OD}   \Rightarrow BC//AD

2. tan \theta = \dfrac{EM}{EN}= \dfrac{ \dfrac{b}{2}+ \dfrac{d}{2}  }{a+c}= \dfrac{b+d}{2(a+c)}  .

Αλλά  (ZBDT)=(SACZ) \Rightarrow (b+d)c=(a+c)b \Rightarrow b+d= \dfrac{(a+c)b }{c} άρα, tan \theta = \dfrac{b}{2c}

Για το ερώτημα του Γιώργου Μήτσιου, tan \phi = \dfrac{EC}{EF}= \dfrac{b}{2c}=tan \theta  \Rightarrow  \phi = \theta  \Rightarrow  CF//MN

Ισεμβαδικά ορθογώνια.png
Μιχάλη

Εκτιμώ ( δηλαδή είμαι σχεδόν σίγουρος ) ότι ο Γιώργος έβαλε το ερώτημα να δείχθει ανεξάρτητα απο την τιμή της εφαπτόμενης για να υπολογιστεί ( ευκολότερα προφανώς ) η ζητούμενη εφαπτόμενη της γωνίας 😀

Δεν είναι δύσκολο να γίνει αυτό ( μια γραμμούλα ειναι) και θα επανέλθω αύριο αν δεν εχει απαντηθεί


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 16, 2021 8:58 am

Ισεμβαδικά  ορθογώνια.png
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (11.84 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές
Προσθέτω στο σχήμα το σημείο Q , που είναι η τομή των MN , BD . Δείξτε ότι το Q

είναι το μέσο του BD . Το ερώτημα αυτό ήταν το μοναδικό σε διαγωνισμό στο Ιράν .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 16, 2021 9:09 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 16, 2021 8:58 am
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Προσθέτω στο σχήμα το σημείο Q , που είναι η τομή των MN , BD . Δείξτε ότι το Q

είναι το μέσο του BD . Το ερώτημα αυτό ήταν το μοναδικό σε διαγωνισμό στο Ιράν .
Αν K το μέσον του DO τότε

DQ=DK+KQ= \dfrac {d}{2} + MK \tan \theta= \dfrac {d}{2} + c\cdot \dfrac {b}{2c} = \dfrac {1}{2}(b+d) = \dfrac {1}{2}BD.

Σχόλιο: Αν αντιμετώπιζα την ερώτηση εξ αρχής, μόνο γι' αυτό το ερώτημα, δεν χρειάζονται τα παραπάνω. Η άσκηση είναι πολύ απλή με Αναλυτική Γεωμετρία (αρχή αξόνων το T) αφού από τις συντεταγμενες των μέσων M και N βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας MN, και άρα το Q.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιαν 16, 2021 11:24 am

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Σάβ Ιαν 16, 2021 2:10 am
Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Σάβ Ιαν 16, 2021 2:00 am
KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 8:30 pm
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Τα ορθογώνια OASB , OCTD είναι ισεμβαδικά . Τα N ,M είναι τα μέσα των AS , CT και : L\equiv AC\cap NM .

α) Δείξτε ότι : AD \parallel BC ... β) Υπολογίστε την : \tan\widehat{ALN} , συναρτήσει μόνον δύο πλευρών από τις a,b,c,d .
1.ab=cd \Rightarrow  \dfrac{c}{a}= \dfrac{b}{d} \Rightarrow  \dfrac{CO}{OA} = \dfrac{BO}{OD}   \Rightarrow BC//AD

2. tan \theta = \dfrac{EM}{EN}= \dfrac{ \dfrac{b}{2}+ \dfrac{d}{2}  }{a+c}= \dfrac{b+d}{2(a+c)}  .

Αλλά  (ZBDT)=(SACZ) \Rightarrow (b+d)c=(a+c)b \Rightarrow b+d= \dfrac{(a+c)b }{c} άρα, tan \theta = \dfrac{b}{2c}

Για το ερώτημα του Γιώργου Μήτσιου, tan \phi = \dfrac{EC}{EF}= \dfrac{b}{2c}=tan \theta  \Rightarrow  \phi = \theta  \Rightarrow  CF//MN

Ισεμβαδικά ορθογώνια.png
Μιχάλη

Εκτιμώ ( δηλαδή είμαι σχεδόν σίγουρος ) ότι ο Γιώργος έβαλε το ερώτημα να δείχθει ανεξάρτητα απο την τιμή της εφαπτόμενης για να υπολογιστεί ( ευκολότερα προφανώς ) η ζητούμενη εφαπτόμενη της γωνίας 😀

Δεν είναι δύσκολο να γίνει αυτό ( μια γραμμούλα ειναι) και θα επανέλθω αύριο αν δεν εχει απαντηθεί
Στάθη καλημέρα και καλή χρονιά με υγεία

Αφού  \dfrac{c}{a} = \dfrac{b}{d} θα είναι (στο σχήμα μου)  \dfrac{EF}{FN}= \dfrac{EC}{CM}   \Rightarrow CF//MN

Επειδή απάντησα πρώτα στα δυο ερωτήματα του Θανάση ,η απάντηση στο ερώτημα του Γιώργου προέκυψε άμεσα


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιαν 16, 2021 12:12 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 16, 2021 8:58 am
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png Προσθέτω στο σχήμα το σημείο Q , που είναι η τομή των MN , BD . Δείξτε ότι το Q

είναι το μέσο του BD . Το ερώτημα αυτό ήταν το μοναδικό σε διαγωνισμό στο Ιράν .
tan \theta = \dfrac{b}{2c}= \dfrac{ \dfrac{b}{2} }{c} = \dfrac{NA}{AL}  \Rightarrow AL=c  \Rightarrow OL=c-a

tan \theta = \dfrac{OQ}{OL} \Rightarrow  \dfrac{b}{2c}= \dfrac{OQ}{c-a} \Rightarrow OQ= \dfrac{bc-ab}{2c}

Τώρα,   BQ=b-OQ= \dfrac{bc+ab}{2c} ,QD=OQ+d= \dfrac{bc-ab+2cd}{2c}=(ab=cd)= \dfrac{bc+ab}{2c} =BQ
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (24.48 KiB) Προβλήθηκε 285 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 16, 2021 12:52 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 16, 2021 9:09 am

Σχόλιο: Αν αντιμετώπιζα την ερώτηση εξ αρχής, μόνο γι' αυτό το ερώτημα, δεν χρειάζονται τα παραπάνω.

Η άσκηση είναι πολύ απλή με Αναλυτική Γεωμετρία (αρχή αξόνων το T) αφού από τις συντεταγμενες

των μέσων M και N , βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας MN, και άρα το Q.
Ισεμβαδικά  ορθογώνια.png
Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (11.84 KiB) Προβλήθηκε 277 φορές
Μιχάλη , δοκίμασα και με αρχή το T και με αρχή το M και με αρχή το O .

Φυσικά με κάθε επιλογή το αποτέλεσμα βγαίνει , έχει όμως αρκετές πράξεις .

Πιο σύντομη , ίσως , είναι η λύση με απόδειξη της συνευθειακότητας των τριών μέσων .

Είναι : \lambda_{MQ}=\dfrac{b}{-2c} και \lambda_{QN}=\dfrac{-d}{2a} , άρα οι κλίσεις είναι ίσες , αφού : ab=cd .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 16, 2021 1:14 pm

Δείτε την ενδιαφέρουσα "επίσημη" λύση στην σελίδα 7 της παραπομπής .

Ας τολμήσω κι ένα σχόλιο : Νομίζω ότι το ευχάριστο αυτό θεματάκι ,

έτυχε περισσότερης προσοχής , απ' όση του αναλογούσε !


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 16, 2021 1:17 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 16, 2021 12:52 pm
Ισεμβαδικά ορθογώνια.pngΜιχάλη , δοκίμασα και με αρχή το T και με αρχή το M και με αρχή το O .

Φυσικά με κάθε επιλογή το αποτέλεσμα βγαίνει , έχει όμως αρκετές πράξεις .

Πιο σύντομη , ίσως , είναι η λύση με απόδειξη της συνευθειακότητας των τριών μέσων .

Είναι : \lambda_{MQ}=\dfrac{b}{-2c} και \lambda_{QN}=\dfrac{-d}{2a} , άρα οι κλίσεις είναι ίσες , αφού : ab=cd .
Θανάση, ο τρόπος που το έκανα είναι γυρίζοντας το σχήμα 90^o με την φορά των δεικτών του ρολογιού και με αρχή των αξόνων την τομή των TD, AS.

Οι πράξεις είναι απλές (και σχετικά λίγες). Μόνο προσοχή σε ένα βήμα προς το τέλος όπου εμφανίζεται το άθροισμα δύο κλασμάτων. Σε αυτά δεν κάνουμε τις πράξεις και μετά αξιοποιούμε την ab=cd αλλά αφήνουμε το ένα κλάσμα ως έχει και δουλεύουμε μόνο με το άλλο.

Υπόψη ότι αποδεικνύεται και το αντίστροφο, με ελάχιστη παραπάνω δουλειά. Δηλαδή ισχύει

ab=cd αν και μόνον αν το L είναι μέσον.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης