Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15014
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Νοέμ 29, 2020 7:39 pm

Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση.png
Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση.png (7.43 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές
\bigstar Θέλοντας να τριχοτομήσουμε την υποτείνουσα BC του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC ,

διχοτομούμε με τα σημεία M , N τις κάθετες πλευρές και φέροντας από τα M,A κάθετες προς την BN ,

ισχυριζόμαστε ότι τα προκύπτοντα στην υποτείνουσα , σημεία S , T είναι τα ζητούμενα . Τι λέτε ;


Λέξεις Κλειδιά:
ορθογώνιο--και-ισοσκελές
τριχοτόμηση
Κορυφή
Manolis Petrakis
Δημοσιεύσεις: 204
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Δευ Νοέμ 30, 2020 9:15 pm

Είναι: MS \parallel AT έτσι \dfrac{BS}{BT}=\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2BS=BT\Leftrightarrow BS=ST (1)
Ακόμη ειναι:
\dfrac{BT}{TC}=\dfrac{(BTA)}{(TCA)}=\dfrac{\sin\widehat{BAT}}{\sin\widehat{TAC}}=\tan\widehat{BAT}=\tan \widehat{BNA}=\dfrac{AB}{AN}=2
\Rightarrow BT=2TC (2)
Από τις (1),(2) έπεται το ζητούμενο


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9848
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 30, 2020 10:20 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 29, 2020 7:39 pm
 Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση.png\bigstar Θέλοντας να τριχοτομήσουμε την υποτείνουσα BC του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC ,

διχοτομούμε με τα σημεία M , N τις κάθετες πλευρές και φέροντας από τα M,A κάθετες προς την BN ,

ισχυριζόμαστε ότι τα προκύπτοντα στην υποτείνουσα , σημεία S , T είναι τα ζητούμενα . Τι λέτε ;
Απο τη διχοτόμηση στην τριχοτόμηση.png
Απο τη διχοτόμηση στην τριχοτόμηση.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 760 φορές
Ας είναι F το σημείο τομής της ευθείας BA με την από το C κάθετη στη BN.

Επειδή MN// = \dfrac{{BC}}{2} και το N είναι ορθόκεντρο του \vartriangle FBC το \vartriangle NFM είναι ισοσκελές ορθογώνιο και άρα MA = AF, αλλά MA = MB.

Συνεπώς: BM = MA = AF άρα BS = ST = TC.

Αν τμήματα ευθείας περιεχόμενα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα ,

τότε και κάθε άλλης ευθείας τα τμήματα ,τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων ευθειών , είναι ίσα.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9848
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 30, 2020 10:40 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 29, 2020 7:39 pm
 Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση.png\bigstar Θέλοντας να τριχοτομήσουμε την υποτείνουσα BC του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC ,

διχοτομούμε με τα σημεία M , N τις κάθετες πλευρές και φέροντας από τα M,A κάθετες προς την BN ,

ισχυριζόμαστε ότι τα προκύπτοντα στην υποτείνουσα , σημεία S , T είναι τα ζητούμενα . Τι λέτε ;
Απο τη διχοτόμηση στην τριχοτόμηση_new_2.png
Απο τη διχοτόμηση στην τριχοτόμηση_new_2.png (15.18 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές
Ας είναι E,D τα σημεία τομής της BN με τις MS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT. Έστω δε K η προβολή του C στην ευθεία AT.

Επειδή AB = 2AN και τα ορθογώνια τρίγωνα ABN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBA είναι όμοια , θα είναι BE = ED = DA.

Αλλά αφού AB = AC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {NBA} = \widehat {KAC} \Rightarrow \vartriangle DBA = \vartriangle KAC

μα τότε και \vartriangle EBS = \vartriangle KCS \Rightarrow ST = BS = TC


Κορυφή
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2473
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Δεκ 01, 2020 10:46 am

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 29, 2020 7:39 pm
 Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση.png\bigstar Θέλοντας να τριχοτομήσουμε την υποτείνουσα BC του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC ,

διχοτομούμε με τα σημεία M , N τις κάθετες πλευρές και φέροντας από τα M,A κάθετες προς την BN ,

ισχυριζόμαστε ότι τα προκύπτοντα στην υποτείνουσα , σημεία S , T είναι τα ζητούμενα . Τι λέτε ;
Καλημέρα και καλό μήνα

Προεκτείνω την BA κατά τμήμα AI=AM=MB=\dfrac{b}{2}. Θα αποδείξω ότι BJ\perp CI

Στο τρίγωνο BAT,MB=MA,MS//AT \Rightarrow SB=ST,

Από το Π.Θ ACI,IC=\dfrac{b\sqrt{5}}{2}. Από Μενέλαο στο τρίγωνο AIC με τέμνουσα BNJ,\dfrac{JI}{JC}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow JC=\dfrac{b\sqrt{5}}{5} Οπότε CN.CA=CJ.CI και το τετράπλευρο ANJI είναι εγράψιμο άρα BJ\perp IC
Συνημμένα
Από τη διχοτόμηση στην τριχοτόμηση.png
Από τη διχοτόμηση στην τριχοτόμηση.png (48.18 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Κορυφή
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5561
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Δεκ 01, 2020 1:12 pm

Καλημέρα και καλό μήνα !

Στο σχήμα του Γιάννη :

Τα τρίγωνα ABN και AIC είναι ίσα και έτσι οι γωνίες στο B '' πάνω -δεξιά '' και στο C κάτω είναι ίσες. Οι ευθείες επομένως BN

και IC είναι κάθετες.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5954
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:
Επικοινωνία S.E.Louridas

Re: Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Δεκ 01, 2020 3:34 pm

Γεια και χαρά.
Απλά επιτρέψτε μου να τοποθετήσω το εξής σχήμα, στο οποίο η λύση είναι εμφανής:
qbio.png
qbio.png (45.42 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1789
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Δεκ 02, 2020 12:48 am

Kαλημέρα σε όλους! Άλλη μία για την ποικιλία, με χρήση του σχήματος
Τριχοτόμηση.png
Τριχοτόμηση.png (119.45 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές
Αν CLI \parallel BN από το εγγράψιμο AMIC έχουμε \widehat{AIC}=\widehat{AMC}=\omega +\pi /4 ενώ και \widehat{ACI}=\omega +\pi /4

άρα το ύψος ALτου ισοσκελούς ACI είναι και διάμεσος οπότε το T μέσον του SC (αφού LT \parallel IS).

Όπως γράφηκε είναι BS=ST συνεπώς τα S,T τριχοτομούν το BC. Φιλικά, Γιώργος.


Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2769
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Δεκ 02, 2020 7:42 am

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 29, 2020 7:39 pm
 Από την διχοτόμηση στην τριχοτόμηση.png\bigstar Θέλοντας να τριχοτομήσουμε την υποτείνουσα BC του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC ,

διχοτομούμε με τα σημεία M , N τις κάθετες πλευρές και φέροντας από τα M,A κάθετες προς την BN ,

ισχυριζόμαστε ότι τα προκύπτοντα στην υποτείνουσα , σημεία S , T είναι τα ζητούμενα . Τι λέτε ;
Επειδή M μέσον της AB και MS//AT ,είναι BS=ST.Ακόμη G είναι κ.βάρους του τριγώνου ABC

Από τα εγγράψιμμα ABDE,EGDT οι 45-άρες είναι ίσες,άρα GT//AC οπότε

DT=DG= \dfrac{a}{6} \Rightarrow TC= \dfrac{a}{3} \Rightarrow BS=ST= \dfrac{a}{3}
από διχοτόμηση σε τριχοτόμηση.png
από διχοτόμηση σε τριχοτόμηση.png (13.02 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες