Αναζητώντας το μέσο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12179
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αναζητώντας το μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:23 pm

Αναζητώντας  το μέσο.png
Αναζητώντας το μέσο.png (13.84 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές
Σε σημείο S της πλευράς AC , ορθογωνίου τριγώνου ABC , με : \hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο T . Φέρουμε TM \perp BC .

Υπολογίστε το τμήμα AS , αν το σημείο M είναι το μέσο της BC
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Πέμ Νοέμ 19, 2020 7:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10045
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αναζητώντας το μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 19, 2020 4:25 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:23 pm
Αναζητώντας το μέσο.pngΣε σημείο S της πλευράς AC , ορθογωνίου τριγώνου ABC , με : \hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο T . Φέρουμε TM \perp BC .

Για ποια θέση του S , το σημείο M είναι το μέσο της BC ;
Απορία..png
Απορία..png (12.57 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές
Από το μέσο T του τόξου \overset\frown{BC} που δεν περιέχει το A, φέρνω κάθετη στην AC και εντοπίζω το σημείο S.

Ο KARKAR μάλλον ζητάει να γράψουμε \displaystyle AS = \frac{{b + c}}{2} αλλά χάθηκε στα γρανάζια της διατύπωσης :lol:


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1991
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Αναζητώντας το μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Νοέμ 19, 2020 5:20 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:23 pm
Αναζητώντας το μέσο.pngΣε σημείο S της πλευράς AC , ορθογωνίου τριγώνου ABC , με : \hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο T . Φέρουμε TM \perp BC .

Για ποια θέση του S , το σημείο M είναι το μέσο της BC ;
Από το Π.Θ στο τρίγωνο BTC,BT=TC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},BM=MC=\dfrac{a}{2},SC=x,AS=b-x

\hat{BCT}=45=\hat{BAT}=\hat{BTM}=\hat{MTC},\hat{\omega }=\hat{ACB}=\hat{MTS},

\hat{TLN}=45+\omega ,\hat{LTN}=45^{0}=\hat{TAS},AS=TS\Leftrightarrow AS^{2}=TS^{2}\Leftrightarrow

 2(b-x)^{2}=a^{2}-2x^{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{b+c}{2},x=\dfrac{b-c}{2}
Συνημμένα
Aναζητώντας το μέσο.png
Aναζητώντας το μέσο.png (93.74 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10045
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αναζητώντας το μέσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 19, 2020 5:39 pm

Αφού απαντήθηκε (Γεια σου Γιάννη) ας γράψω κι εγώ την υπολογιστική μου λύση.
Αναζήτηση μέσου.Κ.png
Αναζήτηση μέσου.Κ.png (18.48 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές
Από τα όμοια ABC, MNC, \displaystyle \frac{{MN}}{c} = \frac{{MC}}{b} = \frac{a}{{2b}} \Leftrightarrow MN = \frac{{ac}}{{2b}} \Rightarrow TN = \frac{a}{2} + \frac{{ac}}{{2b}} \Leftrightarrow \boxed{TN = \frac{{a(b + c)}}{{2b}}}

Από την ομοιότητα των ABC, CNT, είναι \displaystyle \frac{{TS}}{b} = \frac{{TN}}{a} = \frac{{b + c}}{{2b}} \Leftrightarrow TS = \frac{{b + c}}{2}.

Αλλά, το T είναι μέσο του \overset\frown{BC}, οπότε \boxed{AS = TS = \frac{{b + c}}{2}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10045
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αναζητώντας το μέσο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 19, 2020 5:58 pm

Αλλιώς, αλλά εκτός φακέλου. \displaystyle AS = TS \Leftrightarrow AT = AS\sqrt 2.
Αναζήτηση μέσου.Κ2.png
Αναζήτηση μέσου.Κ2.png (16.21 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές
Θεώρημα Πτολεμαίου: \displaystyle b\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + c\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = aAT = aAS\sqrt 2  \Leftrightarrow \boxed{AS=\frac{b+c}{2}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7711
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αναζητώντας το μέσο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 20, 2020 1:31 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:23 pm
Αναζητώντας το μέσο.pngΣε σημείο S της πλευράς AC , ορθογωνίου τριγώνου ABC , με : \hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο T . Φέρουμε TM \perp BC .

Υπολογίστε το τμήμα AS , αν το σημείο M είναι το μέσο της BC
Αναζητώντας το μέσο.png
Αναζητώντας το μέσο.png (28.93 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
Ας είναι E η προβολή του T στην AB και η παράλληλη, από το T στην

ευθεία Simson \overline {EMS} τέμνει την AB στο D. Αβίαστα προκύπτουν:

Το ASTEείναι τετράγωνο και \left\{ \begin{gathered} 
  \vartriangle ABT = \vartriangle DCT \hfill \\ 
  \vartriangle AST = \vartriangle DST \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{AS = ST = \frac{{b + c}}{2}}


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1303
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Αναζητώντας το μέσο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Νοέμ 20, 2020 9:59 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:23 pm
Αναζητώντας το μέσο.pngΣε σημείο S της πλευράς AC , ορθογωνίου τριγώνου ABC , με : \hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο T . Φέρουμε TM \perp BC .

Υπολογίστε το τμήμα AS , αν το σημείο M είναι το μέσο της BC
Αν T^{\prime} το συμμετρικό του T ως προς το σημείο M, τότε το ίχνος S^{\prime} της καθέτου από το T^{\prime} προς την AC θα διαιρεί την τεθλασμένη BAC στο ήμισυ (λήμμα Αρχιμήδη). Οι παράλληλες ευθείες TS και T^{\prime}S^{\prime} είναι συμμετρικές ως προς την μεσοκάθετο του τμήματος AC. Άρα AS=S^{\prime}C= \dfrac{AB+AC}{2}.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1953
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Αναζητώντας το μέσο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Νοέμ 20, 2020 7:17 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:23 pm
Αναζητώντας το μέσο.pngΣε σημείο S της πλευράς AC , ορθογωνίου τριγώνου ABC , με : \hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο T . Φέρουμε TM \perp BC .

Υπολογίστε το τμήμα AS , αν το σημείο M είναι το μέσο της BC
Έστω b>c και BN \bot AT.Επειδή AT διχοτόμος της γωνίας A, είναι,BA=AN=c και TBAN χαρταετός,

άρα οι γωνίες TNC,TCN είναι ίσες ,ως παραπληρώματα της γωνίας ABT ,συνεπώς NS= \dfrac{b-c}{2}

Είναι , TS=AS=c+ \dfrac{b-c}{2}= \dfrac{b+c}{2}

Η περίπτωση c>b αντιμετωπίζεται ανάλογα ,ενώ η περίπτωση   b=c είναι τετριμμένη
αναζητώντας το μέσον.png
αναζητώντας το μέσον.png (42.47 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης