Αναζητώντας το μέσο

KARKAR · #1

: Αναζητώντας το μέσο.png (13.84 KiB) Προβλήθηκε 504 φορές

Σε σημείο

της πλευράς

, ορθογωνίου τριγώνου ABC

, με : $\hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c$

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο

. Φέρουμε $TM \perp BC$ .

Υπολογίστε το τμήμα

, αν το σημείο

είναι το μέσο της

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:23 pm
Αναζητώντας το μέσο.pngΣε σημείο της πλευράς , ορθογωνίου τριγώνου , με : $\hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c$

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο . Φέρουμε $TM \perp BC$ .

Για ποια θέση του , το σημείο είναι το μέσο της ;

: Απορία..png (12.57 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Από το μέσο

του τόξου $\overset\frown{BC}$ που δεν περιέχει το

φέρνω κάθετη στην

και εντοπίζω το σημείο

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:23 pm
Αναζητώντας το μέσο.pngΣε σημείο της πλευράς , ορθογωνίου τριγώνου , με : $\hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c$

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο . Φέρουμε $TM \perp BC$ .

Για ποια θέση του , το σημείο είναι το μέσο της ;

Από το Π.Θ στο τρίγωνο $BTC,BT=TC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},BM=MC=\dfrac{a}{2}$ , SC=x,AS=b-x

$\hat{BCT}=45=\hat{BAT}=\hat{BTM}=\hat{MTC},\hat{\omega }=\hat{ACB}=\hat{MTS}, \hat{TLN}=45+\omega ,\hat{LTN}=45^{0}=\hat{TAS},AS=TS\Leftrightarrow AS^{2}=TS^{2}\Leftrightarrow 2(b-x)^{2}=a^{2}-2x^{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{b+c}{2},x=\dfrac{b-c}{2}$

#4

Αφού απαντήθηκε (Γεια σου Γιάννη) ας γράψω κι εγώ την υπολογιστική μου λύση.

: Αναζήτηση μέσου.Κ.png (18.48 KiB) Προβλήθηκε 455 φορές

Από τα όμοια ABC, MNC,

$\displaystyle \frac{{MN}}{c} = \frac{{MC}}{b} = \frac{a}{{2b}} \Leftrightarrow MN = \frac{{ac}}{{2b}} \Rightarrow TN = \frac{a}{2} + \frac{{ac}}{{2b}} \Leftrightarrow$ $\boxed{TN = \frac{{a(b + c)}}{{2b}}}$

Από την ομοιότητα των ABC, CNT,

είναι $\displaystyle \frac{{TS}}{b} = \frac{{TN}}{a} = \frac{{b + c}}{{2b}} \Leftrightarrow TS = \frac{{b + c}}{2}.$

Αλλά, το

είναι μέσο του $\overset\frown{BC},$ οπότε $\boxed{AS = TS = \frac{{b + c}}{2}}$

#5

Αλλιώς, αλλά εκτός φακέλου. $\displaystyle AS = TS \Leftrightarrow AT = AS\sqrt 2.$

: Αναζήτηση μέσου.Κ2.png (16.21 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

Θεώρημα Πτολεμαίου: $\displaystyle b\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + c\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = aAT = aAS\sqrt 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{AS=\frac{b+c}{2}}$

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:23 pm
Αναζητώντας το μέσο.pngΣε σημείο της πλευράς , ορθογωνίου τριγώνου , με : $\hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c$

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο . Φέρουμε $TM \perp BC$ .

Υπολογίστε το τμήμα , αν το σημείο είναι το μέσο της

: Αναζητώντας το μέσο.png (28.93 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

Ας είναι

η προβολή του

στην

και η παράλληλη, από το

στην

ευθεία Simson

$\overline {EMS}$ τέμνει την

στο

. Αβίαστα προκύπτουν:

Το ASTE

είναι τετράγωνο και $\left\{ \begin{gathered} \vartriangle ABT = \vartriangle DCT \hfill \\ \vartriangle AST = \vartriangle DST \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{AS = ST = \frac{{b + c}}{2}}$

Al.Koutsouridis · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:23 pm
Αναζητώντας το μέσο.pngΣε σημείο της πλευράς , ορθογωνίου τριγώνου , με : $\hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c$

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο . Φέρουμε $TM \perp BC$ .

Υπολογίστε το τμήμα , αν το σημείο είναι το μέσο της

Αν $T^{\prime}$ το συμμετρικό του

ως προς το σημείο

, τότε το ίχνος $S^{\prime}$ της καθέτου από το $T^{\prime}$ προς την

θα διαιρεί την τεθλασμένη BAC

στο ήμισυ (λήμμα Αρχιμήδη). Οι παράλληλες ευθείες

και $T^{\prime}S^{\prime}$ είναι συμμετρικές ως προς την μεσοκάθετο του τμήματος

. Άρα $AS=S^{\prime}C= \dfrac{AB+AC}{2}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 19, 2020 3:23 pm
Αναζητώντας το μέσο.pngΣε σημείο της πλευράς , ορθογωνίου τριγώνου , με : $\hat{A}=90^0 , AC=b , AB=c$

υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο . Φέρουμε $TM \perp BC$ .

Υπολογίστε το τμήμα , αν το σημείο είναι το μέσο της

Έστω

και $BN \bot AT$ .Επειδή

διχοτόμος της γωνίας

, είναι,

και

χαρταετός,

άρα οι γωνίες TNC,TCN

είναι ίσες ,ως παραπληρώματα της γωνίας ABT

,συνεπώς $NS= \dfrac{b-c}{2}$

Είναι , $TS=AS=c+ \dfrac{b-c}{2}= \dfrac{b+c}{2}$

Η περίπτωση c>b

αντιμετωπίζεται ανάλογα ,ενώ η περίπτωση b=c

είναι τετριμμένη

: αναζητώντας το μέσον.png (42.47 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές

Αναζητώντας το μέσο

Αναζητώντας το μέσο

Re: Αναζητώντας το μέσο

Re: Αναζητώντας το μέσο

Re: Αναζητώντας το μέσο

Re: Αναζητώντας το μέσο

Re: Αναζητώντας το μέσο

Re: Αναζητώντας το μέσο

Re: Αναζητώντας το μέσο

Μέλη σε σύνδεση