Εύρεση γωνίας

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1325
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Εύρεση γωνίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Οκτ 09, 2020 12:07 pm

Χαιρετώ.
Εύρεση γωνίας.png
Εύρεση γωνίας.png (79.17 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC και \widehat{A}=30^o. Το E \in AC ώστε να ισχύει BC^{2}=2AE^{2}.

Να υπολογιστεί η γωνία \widehat{BEC}. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση γωνίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Οκτ 09, 2020 1:00 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Οκτ 09, 2020 12:07 pm
Χαιρετώ.
Εύρεση γωνίας.png
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC και \widehat{A}=30^o. Το E \in AC ώστε να ισχύει BC^{2}=2AE^{2}.

Να υπολογιστεί η γωνία \widehat{BEC}. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Γεια σου Γιώργο.
Θα βάλω μια λύση αλλά σημασία έχει το σκεπτικό.
Για να μην παραβώ τους κανονισμούς την βάζω σε απόκρυψη.
Αφού λέει να την υπολογίσουμε θα είναι κάποια γνωστή.Με πρόχειρο σχήμα φαίνεται να είναι 45. Τώρα όλα είναι εύκολα.Παίρνουμε το σημείο E ώστε η γωνία να είναι 45 .Θεώρημα ημιτόνου για υπολογισμό της EC και μετά βλέπουμε ότι η υπόθεση ισχύει.Το μόνο που χρειάζεται είναι ότι \cos 75=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2}).Να σημειώσω ότι μπορούμε το Θεώρημα ημιτόνου και το συνημίτονο της 75 να τα κάνουμε και με καθαρή Ευκλείδεια.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7543
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εύρεση γωνίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Οκτ 09, 2020 1:17 pm

Έστω λυμένο το πρόβλημα.
Εύρεση γωνίας_Μήτσιος.png
Εύρεση γωνίας_Μήτσιος.png (35.12 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές
Η μεσοκάθετος στο EC και η παράλληλη από το E στην AB τέμνονται στο K.

Το \vartriangle KBC είναι ισοσκελές ορθογώνιο και το K περίκεντρο του \vartriangle EBC και άρα:

\boxed{\widehat {{\omega _{}}} = 45^\circ }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9796
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εύρεση γωνίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 09, 2020 4:54 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Οκτ 09, 2020 12:07 pm
Χαιρετώ.
Εύρεση γωνίας.png
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC και \widehat{A}=30^o. Το E \in AC ώστε να ισχύει BC^{2}=2AE^{2}.

Να υπολογιστεί η γωνία \widehat{BEC}. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλησπέρα!

Έστω BD το ύψος του ισοσκελούς.
Εύρεση γωνίας.ΓΜ.png
Εύρεση γωνίας.ΓΜ.png (9.25 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
Από υπόθεση είναι \displaystyle AE = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} και από νόμο συνημιτόνου, \displaystyle a = b\sqrt {2 - \sqrt 3 }  = \frac{b}{{\sqrt 2 }}(\sqrt 3  - 1)

Είναι ακόμα, \displaystyle BD = \frac{b}{2} και \displaystyle AD = \frac{{b\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow DE = \frac{{b\sqrt 3 }}{2} - AE = \frac{{b\sqrt 3 }}{2} - \frac{b}{2}(\sqrt 3  - 1) = \frac{b}{2} \Rightarrow

\boxed{BD=DE} απ' όπου προκύπτει άμεσα ότι \boxed{\omega=45^\circ}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1909
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εύρεση γωνίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Οκτ 09, 2020 7:02 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Οκτ 09, 2020 12:07 pm
Χαιρετώ.
Εύρεση γωνίας.png
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC και \widehat{A}=30^o. Το E \in AC ώστε να ισχύει BC^{2}=2AE^{2}.

Να υπολογιστεί η γωνία \widehat{BEC}. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Κατασκευάζοντας το ημιτετράγωνο AED έχουμε AD^2=2AE^2=2BC^2 \Rightarrow AD=BC και \angle ABC= \angle BAD=75^0

Επομένως ABCD ισοσκελές τραπέζιο,οπότε AC=BD=BA και η BE θα είναι μεσοκάθετός της AD

Έτσι, \angle  \omega = \angle AEM=45^0
Εύρεση γωνίας.png
Εύρεση γωνίας.png (20.8 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1325
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εύρεση γωνίας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Οκτ 21, 2020 10:24 pm

Καλό βράδυ. Σταύρο, Νίκο, Γιώργο και Μιχάλη σας ευχαριστώ για την ανταπόκριση και τις ωραίες λύσεις!
Μια ακόμη προσέγγιση
8-10 gm.png
8-10 gm.png (136.85 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές
Θεωρούμε το σημείο I της μεσοκαθέτου AM του BC ώστε να είναι \widehat{ICA}=\widehat{BAC}=30^o. (*)

Είναι \widehat{MCI}=75^o-30^o=45^o οπότε το MIC είναι ορθ. και ισοσκελές επομένως έχουμε

IC^{2}=2MC^{2}=BC^{2}/2=AE^{2}\Rightarrow \boxed{IC=AE}.

Έτσι τα τρίγωνα ICA,ABE είναι ίσα(ΠΓΠ) με \widehat{ABE}=\widehat{CAI}=15^{o} άρα \widehat{BEC}=15^{o}+30^{o}=45^{o}.

(*)Την "δράση" αυτή προβλέπεται .. :) .. να την δούμε και αλλού..

Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες