Ίσοι λόγοι

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10164
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίσοι λόγοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 30, 2020 5:21 pm

Ίσοι λόγοι..png
Ίσοι λόγοι..png (11.2 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές
Έστω M, N τα μέσα των διαγωνίων BD, AC τετραπλεύρου ABCD. Η MN τέμνει τις

AD, BC στα K, L αντίστοιχα. Να δείξετε ότι \displaystyle \frac{{AK}}{{KD}} = \frac{{CL}}{{LB}}.

ΥΓ1. Οι παραπομπές ας περιμένουν να δοθεί η πρώτη σωστή λύση.
ΥΓ2. Ο συνονόματος του απατημένου συζύγου στην Ιλιάδα, θεωρείται εκτός φακέλου!


Λέξεις Κλειδιά:
τετράπλευρο
μέσα-διαγωνίων
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12309
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ίσοι λόγοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Σεπ 30, 2020 7:35 pm

Δεν καταλαβαίνω γιατί δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω ένα απόσπασμα του Λουντέμη :?:


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 322
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Ίσοι λόγοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Σεπ 30, 2020 7:53 pm

Καλησπέρα.Δεν ξέρω αν ικανοποιεί:
Έστω P\equiv AC\cap BD,Q\equiv (APD)\cap(BPC).
Το Q είναι τότε το κέντρο της ομοιότητας που στέλνει το AD στο CB και το AC στο DB.
Στέλνει λοιπόν και το μέσο N του DB στο μέσο M του AC οπότε (PNQM) εύκολα εγγράψιμο.
Το Q λοιπόν βγαίνει το σημείο Miquel των BPNL.MC,AKMP.DN-δηλαδή ανήκει στους (DKM),(CLN).
Από την ομοιότητα έχουμε QAD\simeq QCB και καθώς DQK\angle=DMK\angle=PQN\angle=BQL\angle έπεται QAD\cup K\simeq QCB\cup L ή ότι τα K,L είναι ομόλογα σημεία στις AD,CB
υγ.Υπάρχουν μερικά "configuration issues"


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4088
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ίσοι λόγοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Σεπ 30, 2020 9:15 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 30, 2020 5:21 pm
 Ίσοι λόγοι..png
Έστω M, N τα μέσα των διαγωνίων BD, AC τετραπλεύρου ABCD. Η MN τέμνει τις

AD, BC στα K, L αντίστοιχα. Να δείξετε ότι \displaystyle \frac{{AK}}{{KD}} = \frac{{CL}}{{LB}}.

ΥΓ1. Οι παραπομπές ας περιμένουν να δοθεί η πρώτη σωστή λύση.
ΥΓ2. Ο συνονόματος του απατημένου συζύγου στην Ιλιάδα, θεωρείται εκτός φακέλου!
ίσοι λόγοι.png
ίσοι λόγοι.png (19.63 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές
Έστω S το συμμετρικό του A ως προς το M και T το σημείο τομής της NB με την BS. Από το παραλληλόγραμμο ADSB (οι διαγώνιες διχοτομούνται) θα είναι \dfrac{AK}{KD}=\dfrac{TS}{TB} και από την «προφανή» παραλληλία της MN\equivTL με την SC (συνδέει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ASC ) με την SC θα είναι \dfrac{LC}{LB}=\dfrac{TS}{TB} και το ζητούμενο έπεται


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1967
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ίσοι λόγοι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Σεπ 30, 2020 10:26 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 30, 2020 5:21 pm
 Ίσοι λόγοι..png
Έστω M, N τα μέσα των διαγωνίων BD, AC τετραπλεύρου ABCD. Η MN τέμνει τις

AD, BC στα K, L αντίστοιχα. Να δείξετε ότι \displaystyle \frac{{AK}}{{KD}} = \frac{{CL}}{{LB}}.

ΥΓ1. Οι παραπομπές ας περιμένουν να δοθεί η πρώτη σωστή λύση.
ΥΓ2. Ο συνονόματος του απατημένου συζύγου στην Ιλιάδα, θεωρείται εκτός φακέλου!

Οι παράλληλες από το D προς την BL κι από το C προς την AK τέμνουν την KL στα I,H αντίστοιχα

κι επειδή M,N μέσα των BD,AC, τα IBLD,AKCH είναι παραλ/μμα

Επομένως οι γωνίες ίδιου χρώματος είναι ίσες και

\triangle IKD \simeq \triangle CLH \Rightarrow \dfrac{ID}{CL} = \dfrac{KD}{HC} \Leftrightarrow \dfrac{BL}{CL} = \dfrac{KD}{AK}
Ίσοι λόγοι.png
Ίσοι λόγοι.png (15.06 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές


Κορυφή
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2008
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ίσοι λόγοι

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Οκτ 01, 2020 2:36 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 30, 2020 5:21 pm
 Ίσοι λόγοι..png
Έστω M, N τα μέσα των διαγωνίων BD, AC τετραπλεύρου ABCD. Η MN τέμνει τις

AD, BC στα K, L αντίστοιχα. Να δείξετε ότι \displaystyle \frac{{AK}}{{KD}} = \frac{{CL}}{{LB}}.

ΥΓ1. Οι παραπομπές ας περιμένουν να δοθεί η πρώτη σωστή λύση.
ΥΓ2. Ο συνονόματος του απατημένου συζύγου στην Ιλιάδα, θεωρείται εκτός φακέλου!
Στο τρίγωνο ADB με τέμνουσα

OKM,\dfrac{DK}{KA}.\dfrac{OA}{OB}.\dfrac{MB}{DM}=1 \Leftrightarrow \dfrac{AK}{DK}=\dfrac{OA}{OB},(1)

Στο τρίγωνο ABC με τέμνουσα

ONL,\dfrac{NC}{AN}.\dfrac{OA}{OB}.\dfrac{BL}{LC}=1 \Leftrightarrow \dfrac{CL}{BL}=\dfrac{OA}{OB},(2)

Από (1),(2)\Rightarrow \dfrac{AK}{DK}=\dfrac{CL}{BL}
Συνημμένα
Ισοι λόγοι.png
Ισοι λόγοι.png (27.73 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης