Σταθερότητα εμβαδού

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12474
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σταθερότητα εμβαδού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιουν 13, 2020 11:46 am

Σταθερότητα  εμβαδού.png
Σταθερότητα εμβαδού.png (64.81 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές
Σημείο S κινείται σε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} , ακτίνας r και έστω T η προβολή του στην OA .

Θεωρούμε σημεία P ,Q των OA , OB αντίστοιχα , ώστε : OP=ST και OQ=OT .

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου OPSQ , είναι ανεξάρτητο από την θέση του S .



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2061
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Σταθερότητα εμβαδού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Ιουν 13, 2020 1:42 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 13, 2020 11:46 am
Σταθερότητα εμβαδού.pngΣημείο S κινείται σε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} , ακτίνας r και έστω T η προβολή του στην OA .

Θεωρούμε σημεία P ,Q των OA , OB αντίστοιχα , ώστε : OP=ST και OQ=OT .

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου OPSQ , είναι ανεξάρτητο από την θέση του S .
ΕίναιOP=ST,OQ=OT Αρα τα τρίγωνα OQP,OST είναι ίσα και \hat{OQP}=\hat{SOT}=\omega ,\hat{QPO}=90-\omega, QP\perp OS,QP=r,

Από την ομοιότητα των τριγώνων OIP,OST,OI=\dfrac{xy}{r},IP=\dfrac{x^{2}}{r},x=OP,y=OT,
(OPSQ)=(OQP)+(QPS)=\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{1}{2}r(IS)=

\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{1}{2}r^{2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{xyr}{r}=\dfrac{r^{2}}{2}
Συνημμένα
Σταθερότητα εμβαδού.png
Σταθερότητα εμβαδού.png (34.34 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10380
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερότητα εμβαδού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 13, 2020 2:10 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 13, 2020 11:46 am
Σταθερότητα εμβαδού.pngΣημείο S κινείται σε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} , ακτίνας r και έστω T η προβολή του στην OA .

Θεωρούμε σημεία P ,Q των OA , OB αντίστοιχα , ώστε : OP=ST και OQ=OT .

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου OPSQ , είναι ανεξάρτητο από την θέση του S .
Έστω OP=ST=x, OQ=OT=y.
Σταθερότητα εμβαδού.png
Σταθερότητα εμβαδού.png (10.77 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές
\displaystyle (OPSQ) = (OTSQ) - (SPT) = \frac{{(x + y)y}}{2} - \frac{{x(x - y)}}{2} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} = \frac{{O{S^2}}}{2} = \frac{{{R^2}}}{2}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2035
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σταθερότητα εμβαδού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιουν 13, 2020 7:41 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 13, 2020 11:46 am
Σταθερότητα εμβαδού.pngΣημείο S κινείται σε τεταρτοκύκλιο O\overset{\frown}{AB} , ακτίνας r και έστω T η προβολή του στην OA .

Θεωρούμε σημεία P ,Q των OA , OB αντίστοιχα , ώστε : OP=ST και OQ=OT .

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου OPSQ , είναι ανεξάρτητο από την θέση του S .

 \triangle OPQ= \triangle OST \Rightarrow x=y \Rightarrow και OS=PQ=R με OS \bot PQ .Έτσι (OPSQ)= \dfrac{PQ . OS}{2}= \dfrac{R^2}{2}
σταθερότητα εμβαδού.png
σταθερότητα εμβαδού.png (16.5 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7840
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σταθερότητα εμβαδού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 14, 2020 11:52 am

Σταθερό εμβαδόν.png
Σταθερό εμβαδόν.png (16.66 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές
\boxed{\left( {OPSQ} \right) = {N_1} + {N_2} = \frac{1}{2}{b^2} + \frac{1}{2}{a^2} = \frac{1}{2}{R^2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες