Σταθερότητα εμβαδού

KARKAR · #1

: Σταθερότητα εμβαδού.png (64.81 KiB) Προβλήθηκε 581 φορές

Σημείο

κινείται σε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας

και έστω

η προβολή του στην

.

Θεωρούμε σημεία P ,Q

των

αντίστοιχα , ώστε : OP=ST

και

.

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου OPSQ

, είναι ανεξάρτητο από την θέση του

.

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 13, 2020 11:46 am
Σταθερότητα εμβαδού.pngΣημείο κινείται σε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας και έστω η προβολή του στην .

Θεωρούμε σημεία των αντίστοιχα , ώστε : και .

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου , είναι ανεξάρτητο από την θέση του .

Είναι

Αρα τα τρίγωνα OQP,OST

είναι ίσα και $\hat{OQP}=\hat{SOT}=\omega ,\hat{QPO}=90-\omega, QP\perp OS,QP=r,$

Από την ομοιότητα των τριγώνων $OIP,OST,OI=\dfrac{xy}{r},IP=\dfrac{x^{2}}{r},x=OP,y=OT,$
$(OPSQ)=(OQP)+(QPS)=\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{1}{2}r(IS)= \dfrac{1}{2}xy+\dfrac{1}{2}r^{2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{xyr}{r}=\dfrac{r^{2}}{2}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 13, 2020 11:46 am
Σταθερότητα εμβαδού.pngΣημείο κινείται σε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας και έστω η προβολή του στην .

Θεωρούμε σημεία των αντίστοιχα , ώστε : και .

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου , είναι ανεξάρτητο από την θέση του .

Έστω

: Σταθερότητα εμβαδού.png (10.77 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

$\displaystyle (OPSQ) = (OTSQ) - (SPT) = \frac{{(x + y)y}}{2} - \frac{{x(x - y)}}{2} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} = \frac{{O{S^2}}}{2} = \frac{{{R^2}}}{2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 13, 2020 11:46 am
Σταθερότητα εμβαδού.pngΣημείο κινείται σε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας και έστω η προβολή του στην .

Θεωρούμε σημεία των αντίστοιχα , ώστε : και .

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου , είναι ανεξάρτητο από την θέση του .

$\triangle OPQ= \triangle OST \Rightarrow x=y \Rightarrow$ και OS=PQ=R

με $OS \bot PQ$ .Έτσι $(OPSQ)= \dfrac{PQ . OS}{2}= \dfrac{R^2}{2}$

: σταθερότητα εμβαδού.png (16.5 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

#5

: Σταθερό εμβαδόν.png (16.66 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές

$\boxed{\left( {OPSQ} \right) = {N_1} + {N_2} = \frac{1}{2}{b^2} + \frac{1}{2}{a^2} = \frac{1}{2}{R^2}}$

Σταθερότητα εμβαδού

Σταθερότητα εμβαδού

Re: Σταθερότητα εμβαδού

Re: Σταθερότητα εμβαδού

Re: Σταθερότητα εμβαδού

Re: Σταθερότητα εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση