Σελίδα 1 από 1

Ώρα συνεφαπτομένης 4

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 10, 2020 10:17 pm
από KARKAR
Ώρα  συνεφαπτομένης 4.png
Ώρα συνεφαπτομένης 4.png (9.89 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές
\bigstar Στο επισυναπτόμενο σχήμα , υπολογίστε την : \cot\theta

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 11, 2020 10:50 am
από angvl
(εκτός φακέλου).Θεωρώ ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με \displaystyle A(0,0) , E(4,0), C(0,6), D(0,2), B(8,0) και έστω \displaystyle \lambda_{1} η κλίση της ευθείας CE και \lambda_{2} της BD.

\displaystyle \lambda_{1} = \frac{0-6}{4-0} = \frac{-3}{2} , \displaystyle \lambda_{2} = \frac{2-0}{0-8} = \frac{-1}{4}

Η οξεία γωνία δύο ευθειών δίνεται απ την σχέση: \displaystyle \tan \theta =| \frac{\lambda_{1}- \lambda_{2}}{1+\lambda_{1}\lambda_{2}}|. Αρα

\displaystyle \tan \theta = |\frac{\frac{-3}{2}+\frac{1}{4}}{1+\frac{3}{8}}| = \frac{10}{11} \Rightarrow \cot \theta = \frac{11}{10}

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 11, 2020 1:32 pm
από george visvikis
Αναμένοντας λύση εντός φακέλου.
Ώρα συνεφαπτομένης 4.png
Ώρα συνεφαπτομένης 4.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 279 φορές
\displaystyle \cot \theta  = \cot (\varphi  - \omega ) = \frac{{\cot \varphi \cot \omega  + 1}}{{\cot \omega  - \cot \varphi }} = \frac{{\frac{2}{3} \cdot 4 + 1}}{{4 - \frac{2}{3}}} = \frac{{11}}{{10}}

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 11, 2020 7:36 pm
από Doloros
KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 10, 2020 10:17 pm
Ώρα συνεφαπτομένης 4.png\bigstar Στο επισυναπτόμενο σχήμα , υπολογίστε την : \cot\theta
Ωρα συνεφαπτομένης_oritzin_2.png
Ωρα συνεφαπτομένης_oritzin_2.png (25.46 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  M{E^2} = 16 + 1 = 17 \hfill \\ 
  CE = \sqrt {16 + 36}  = 2\sqrt {13}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

\vartriangle AEC \approx \vartriangle TMC \Rightarrow \boxed{x = \frac{{10}}{{\sqrt {13} }}}\,\,\,(1) . Π. Θ. στο \vartriangle TME κι έχω:

\boxed{TE = \frac{{11}}{{\sqrt {13} }} \Rightarrow \cot \theta  = \frac{y}{x} = \frac{{11}}{{10}}}

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 11, 2020 11:09 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 10, 2020 10:17 pm
Ώρα συνεφαπτομένης 4.png\bigstar Στο επισυναπτόμενο σχήμα , υπολογίστε την : \cot\theta

Είναι tan \omega = \dfrac{2}{3} ,tan \varphi =-tany=-4 και

tan \theta +tan \omega +tan \varphi =tan \theta  . tan \omega  . tan \varphi  \Rightarrow tan \theta - \dfrac{10}{3} =- \dfrac{8}{3}tan \theta  \Rightarrow tan \theta = \dfrac{10}{11}  \Rightarrow cot \theta = \dfrac{11}{10}
Ώρα συνεφαπτομένης 4.png
Ώρα συνεφαπτομένης 4.png (22.31 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 12, 2020 2:09 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλημέρα σε όλους!
Ωρα  συνεφαπτομένης.PNG
Ωρα συνεφαπτομένης.PNG (8.5 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές
Φέρω CH \parallel DB και EQ \perp HC.Εύκολα βρίσκουμε BH=16...AH=24..HC^{2}=612.

Το AEQC είναι εγγράψιμο άρα HC \cdot HQ=HE\cdot HA=20\cdot 24=480.

Ακόμη HC\cdot EQ=2\left ( ECH \right )=EH\cdot AC συνεπώς \dfrac{CQ}{EQ}=\dfrac{HC\cdot CQ}{AC\cdot EH}

ενώ HC\cdot CQ=HC\left ( HC-HQ \right )=HC^{2}-HC\cdot HQ=612-480=132

άρα cot\theta =\dfrac{CQ}{EQ}=\dfrac{132}{6\cdot 20}=\dfrac{11}{10}. Φιλικά, Γιώργος.

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 12, 2020 12:02 pm
από Doloros
Ωρα συνεφαπτομένης_3.png
Ωρα συνεφαπτομένης_3.png (20.97 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές
Γράφω το κύκλο που διέρχεται από τα S,D,E και ας είναι T το-άλλο- σημείο τομής του με την AC.

Έστω ακόμη M το μέσο του DA και AT = x.

Προφανώς \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}\,\,(1).

Επίσης ME//DS και άρα : \boxed{CS = \frac{4}{5}CE \Rightarrow CS \cdot CE = \frac{4}{5}C{E^2} = \frac{4}{5}\left( {16 + 36} \right) = \frac{{208}}{5}\,\,(2)}

Επειδή \boxed{CS \cdot CE = CD \cdot CT\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \frac{{208}}{5} = 4\left( {6 + x} \right)} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{22}}{5}} . Έτσι και λόγω της \left( 1 \right) :

\boxed{\cot \theta  = \cot \omega  = \frac{{AT}}{{AE}} = \frac{x}{4} = \frac{{11}}{{10}}}

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 12, 2020 10:57 pm
από Γιώργος Μήτσιος
Χαιρετώ και πάλι. Μια ακόμη με χρήση και των εμβαδών
Ωρα  συνεφαπτομένης ΙΙ.PNG
Ωρα συνεφαπτομένης ΙΙ.PNG (6.83 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές
Με Π.Θ παίρνουμε BD^{2}=68...CE^{2}=52.Είναι \left ( BCDE \right )=24-4=20 αλλά και BD\cdot CE\cdot sin\theta =2\left ( BCDE \right ).

Τότε sin^{2}\theta =\dfrac{4\left ( BCDE \right )^{2}}{BD^{2}\cdot CE^{2}}=..=\dfrac{100}{221} συνεπώς \dfrac{1}{1+cot^{2}\theta }=sin^{2}\theta =\dfrac{100}{221}\Rightarrow ...cot\theta =\dfrac{11}{10} αφού \theta < 90^\circ.

Φιλικά, Γιώργος.

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 13, 2020 9:17 am
από george visvikis
Άλλη μία (εντός φακέλου αυτή τη φορά).


Η BD τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο H και έστω P η προβολή του S στην AB.

Θέτω PE=x και με Πυθαγόρειο βρίσκω BD=2\sqrt{17} και CE=2\sqrt{13}.
Ώρα συνεφαπτομένης 4β.png
Ώρα συνεφαπτομένης 4β.png (12.82 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
SP||AC \Leftrightarrow \dfrac{{SP}}{6} = \dfrac{x}{4}\\ 
\\ 
SP||AD \Leftrightarrow \dfrac{{SP}}{2} = \dfrac{{4 + x}}{8} 
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{2x}}{{x + 4}} \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{4}{5}} και \displaystyle \frac{{CS}}{{CE}} = \frac{{4 - x}}{4} \Leftrightarrow \boxed{CS = \frac{{8\sqrt {13} }}{5}}

Από την ομοιότητα των τριγώνων CHD, BAD παίρνω, \displaystyle \frac{{CH}}{8} = \frac{4}{{2\sqrt {17} }} \Leftrightarrow \boxed{CH = \frac{{16}}{{\sqrt {17} }}} και με Π. Θ \boxed{HS = \frac{{88}}{{5\sqrt {17} }}} απ' όπου \boxed{\tan \theta  = \frac{{CH}}{{HS}} = \frac{{10}}{{11}}} (Μέχρι εδώ ξέρουν οι Juniors - Θαλή Ευκλείδη).

Re: Ώρα συνεφαπτομένης 4

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 14, 2020 7:51 am
από Μιχάλης Νάννος
KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 10, 2020 10:17 pm
\bigstar Στο επισυναπτόμενο σχήμα , υπολογίστε την : \cot\theta
Καλημέρα!
shape.png
shape.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές
Με CT \bot BD ο Μενέλαος ( \triangleleft BDA,\,\overline {CSE} ) και η ομοιότητα ( \triangleleft BDA, \triangleleft CDT) δίνουν το παραπάνω σχήμα.

Από Π.Θ. παίρνουμε (k,m) = \left( {\dfrac{{4\sqrt {17} }}{7},\,\dfrac{{2\sqrt {17} }}{5}} \right)

Έτσι, \cot \theta  = \dfrac{{k + 2m}}{{4k}} =  \ldots  = \dfrac{{11}}{{10}}