Κι άλλο ορθογώνιο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11356
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κι άλλο ορθογώνιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 16, 2019 7:58 pm

Κι  άλλο  ορθογώνιο.png
Κι άλλο ορθογώνιο.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές
Στο - πλευράς a - ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC , θεωρώ σημεία M,T των AB,CA αντίστοιχα ,

ώστε : AM=\dfrac{a}{2} , CT=\dfrac{a}{5} . Θεωρώ ακόμη σημείο S της βάσης BC , ώστε : BS=\dfrac{3a}{4} .

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο MST είναι ορθογώνιο .

β) Βρείτε κι άλλη θέση για το σημείο S , ( BS=; )  , ώστε το MST να είναι ορθογώνιο .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11907
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κι άλλο ορθογώνιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 16, 2019 8:44 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 7:58 pm
Κι άλλο ορθογώνιο.pngΣτο - πλευράς a - ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC , θεωρώ σημεία M,T των AB,CA αντίστοιχα ,

ώστε : AM=\dfrac{a}{2} , CT=\dfrac{a}{5} . Θεωρώ ακόμη σημείο S της βάσης BC , ώστε : BS=\dfrac{3a}{4} .

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο MST είναι ορθογώνιο .

β) Βρείτε κι άλλη θέση για το σημείο S , ( BS=; )  , ώστε το MST να είναι ορθογώνιο .
Για να αποφύγουμε τα κλάσματα βάζουμε a=20d. Είναι τότε AM=10d και λοιπά. Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στα AMT, BMS, CST είναι \displaystyle{MT^2=196d^2, \, MS^2=175d^2, ST^2=21d^2. Αφού ισχύει
MT^2 = 196d^2=175d^2+21d^2 = MS^2+ ST^2, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Για να βρούμε άλλο σημείο, έστω BS=x. Από Νόμο Συνημιτόμνων είναι  MS^2=x^2+100d^2-10xd, ST^2=(20d-x)^2+16d^2-4(20d-x). Συνθήκη ορθογωνίου δίνει  196 = x^2+100d^2-10xd +(20d-x)^2+16d^2-4(20d-x), όπου λύνοντας θα βρούμε x=8d (και x=15d που την ξέραμε).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8950
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κι άλλο ορθογώνιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 17, 2019 10:13 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 16, 2019 7:58 pm
Κι άλλο ορθογώνιο.pngΣτο - πλευράς a - ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC , θεωρώ σημεία M,T των AB,CA αντίστοιχα ,

ώστε : AM=\dfrac{a}{2} , CT=\dfrac{a}{5} . Θεωρώ ακόμη σημείο S της βάσης BC , ώστε : BS=\dfrac{3a}{4} .

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο MST είναι ορθογώνιο .
Αλλιώς για το α). Απομονώνω στο σχήμα το τετράπλευρο MTCB και φέρνω τις ME, TH κάθετες στην BC.
Κι άλλο ορθογώνιο.png
Κι άλλο ορθογώνιο.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές
Εύκολα βρίσκω \displaystyle BE = \frac{a}{4},ES = \frac{a}{2}, ME = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} και ομοίως \displaystyle CH = \frac{a}{{10}},SH = \frac{{3a}}{{20}},TH = \frac{{a\sqrt 3 }}{{10}}

Τα ορθογώνια τρίγωνα EMS, HST έχουν \displaystyle \frac{{ME}}{{ES}} = \frac{{SH}}{{TH}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}, άρα είναι όμοια, οι γωνίες M\widehat SE, H\widehat ST είναι συμπληρωματικές και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης