Τμήμα προέκτασης

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τμήμα προέκτασης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 01, 2019 7:52 pm

Τμήμα  προέκτασης.png
Τμήμα προέκτασης.png (11.13 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές
Προεκτείνουμε την υποτείνουσα BC , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , με AB>AC κατά τμήμα CS .

Ονομάζουμε T,P τις προβολές του S στις ημιευθείες BA , AC . Υπολογίστε το CS αν : PT\perp CS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6775
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τμήμα προέκτασης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 02, 2019 12:34 am

Ας είναι SP = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP = y. Το δε σημείο τομής των SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PT είναι το F

Από τα όμοια τρίγωνα ABC,\,\,PSC και το Θ. Μενελάου στο \vartriangle PTA με τέμνουσα \overline {FCB} έχω:
Τμήμα προέκτασης.png
Τμήμα προέκτασης.png (12.56 KiB) Προβλήθηκε 57 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AB}}{{PS}} = \frac{{AC}}{{PC}} \hfill \\ 
  \frac{{PF}}{{FT}} \cdot \frac{{TB}}{{BA}} \cdot \frac{{AC}}{{CP}} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{c}{x} = \frac{b}{y} \hfill \\ 
  \frac{{PF}}{{FT}} \cdot \frac{{b + x}}{c} \cdot \frac{b}{y} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y = \frac{{bx}}{c} \hfill \\ 
  \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {b + y} \right)}^2}}} \cdot \frac{{b + x}}{c} \cdot \frac{b}{y} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και άρα:


\left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{{b^2}c}}{{\left| {{b^2} - {c^2}} \right|}} \hfill \\ 
  CS = \frac{{a{b^2}}}{{\left| {{b^2} - {c^2}} \right|}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Κατασκευή πριν τους όποιους υπολογισμούς
Τμήμα προέκτασης_Κατασκευή.png
Τμήμα προέκτασης_Κατασκευή.png (25.33 KiB) Προβλήθηκε 42 φορές
Φέρνω τη μεσοκάθετο του AB και τέμνει την υποτείνουσα BC στο D.

Η κάθετη στο A επί την AD τέμνει την ευθεία BC στο S

Απόδειξη

Αν σχηματίσουμε το ορθογώνιο PSTA θα είναι : \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} άρα το

τετράπλευρο ABPF είναι εγγράψιμο , οπότε PT \bot SB


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8489
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τμήμα προέκτασης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 02, 2019 5:34 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 01, 2019 7:52 pm
Τμήμα προέκτασης.pngΠροεκτείνουμε την υποτείνουσα BC , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , με AB>AC κατά τμήμα CS .

Ονομάζουμε T,P τις προβολές του S στις ημιευθείες BA , AC . Υπολογίστε το CS αν : PT\perp CS .
Έστω SC=x.
Τμήμα προέκτασης.png
Τμήμα προέκτασης.png (12.43 KiB) Προβλήθηκε 18 φορές
\displaystyle PS||AB \Rightarrow \frac{{SP}}{c} = \frac{{PC}}{b} = \frac{x}{a} \Rightarrow \boxed{PS = \frac{{cx}}{a},PC = \frac{{bx}}{a}} (1)

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
 S{P^2} = SE \cdot x \\  
  \\  
 {(b + PC)^2} = T{S^2} = SE(x + a) \\  
 \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{S{P^2}}}{{{{(b + PC)}^2}}} = \frac{x}{{x + a}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{{c^2}{x^2}}}{{{b^2}{{(x + a)}^2}}} = \frac{x}{{x + a}} \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{a{b^2}}}{{{c^2} - {b^2}}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης