Πολλά δίνω... λίγα ζητάω

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8218
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Πολλά δίνω... λίγα ζητάω

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 10, 2019 4:17 pm

Πολλά δίνω...png
Πολλά δίνω...png (8.7 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές
Στο τετράπλευρο ABCD του σχήματος ισχύουν τα παρακάτω:
\displaystyle  \bullet  A\widehat DC = 135^o

\displaystyle  \bullet  A\widehat DB - A\widehat BD = 2 D\widehat AB = 4 C\widehat BD.

\displaystyle  \bullet BC = CD\sqrt2

Να δείξετε ότι AB = BC + AD.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6617
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πολλά δίνω... λίγα ζητάω

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Σεπ 10, 2019 11:49 pm

Κατασκευή-Απόδειξη .

Έστω το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , KDC με υποτείνουσα DC = a.

Στην προέκταση της KC προς το C θεωρώ σημείο B με b = CB = a\sqrt 2 .

Από το D φέρνω παράλληλη στην KB και το συμμετρικό T του B ως προς αυτή.

Προφανώς \widehat {BDT} = 2\widehat {DBC} = 2\widehat \xi \,\,. Από το \vartriangle DBC και Θ. Συνημίτονου έχω :

DB = a\sqrt 5 ενώ με το Θ. ημιτόνου στο ίσιο τρίγωνο βρίσκω :

\sin \xi  = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \cos \xi  = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \boxed{\cos 2\xi  = \frac{4}{5}} . Από Θ. συνημίτονου στο \vartriangle DBT

Προκύπτει: \boxed{BT = b = a\sqrt 2 }\,\,(1). Ο κύκλος \left( {B,a\sqrt 2 } \right) τέμνει ακόμα την BT στο E.

Οι KD και BE τέμνονται στο A Το τετράπλευρο ABCD είναι αυτό που θέλουμε .
Πολλά δίνω.png
Πολλά δίνω.png (27.59 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές

Επειδή AD//TB ( κάθετες στην ίδια ευθεία) θα είναι και το τρίγωνο ADE ισοσκελές, συνεπώς AB = AD + BC.

Επί πλέον : \boxed{\frac{{\widehat {BDA} - \widehat {ABD}}}{2} = \widehat {BDE} = 2\widehat \xi }

( Γνωστή πρόταση για την ημιδιαφορά γωνιών τριγώνου)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες