Ορθή και ημι-ορθή

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10957
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθή και ημι-ορθή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Αύγ 20, 2019 7:23 pm

Ορθή  και ημιορθή.png
Ορθή και ημιορθή.png (15.89 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές
Με κέντρο την κορυφή C , τετραγώνου ABCD , γράφω τον κύκλο (C,CB) . Από σημείο P

της προέκτασης της AB φέρω την εφαπτομένη PT του κύκλου , η οποία τέμνει την προέκταση

της AD στο Q . Η QC τέμνει την BT στο S . Υπολογίστε τις γωνίες : \widehat{BSD} και \widehat{QSD} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6792
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθή και ημι-ορθή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 20, 2019 8:17 pm

Ορθή κι ημιορθή.png
Ορθή κι ημιορθή.png (19.21 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές
Ας είναι E το σημείο τομής των ευθειών AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT . ως γνωστό η τετράδα : \left( {Q,A\backslash D,E} \right) είναι αρμονική.

Επειδή : QD = QT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QS = QS\,\,\kappa \alpha \iota \,\widehat {DQS} = \widehat {SDQ} θα είναι : \vartriangle QDS = \vartriangle QTS \Rightarrow \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}.

Αφού τώρα στο τρίγωνο SDE η SQ είναι εξωτερική διχοτόμος , λόγω της πιο πάνω \left( {Q,A\backslash D,E} \right) αρμονικής τετράδας ,

η SA είναι εσωτερική διχοτόμος και SA \bot SQ.

Όμως \displaystyle \widehat {TBP} = \widehat {BTP} = \widehat {ADS} ( παραπληρώματα ίσων γωνιών ) και άρα DS \bot BT συνεπώς: \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} = 45^\circ }


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ορθή και ημι-ορθή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Αύγ 20, 2019 8:36 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 20, 2019 7:23 pm
Ορθή και ημιορθή.pngΜε κέντρο την κορυφή C , τετραγώνου ABCD , γράφω τον κύκλο (C,CB) . Από σημείο P

της προέκτασης της AB φέρω την εφαπτομένη PT του κύκλου , η οποία τέμνει την προέκταση

της AD στο Q . Η QC τέμνει την BT στο S . Υπολογίστε τις γωνίες : \widehat{BSD} και \widehat{QSD} .
<TBP=<BTP=<ADS (απο συμμετρία) , όποτε ομοκυκλικότητα και τέλος ...


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1828
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ορθή και ημι-ορθή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Αύγ 20, 2019 10:02 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 20, 2019 7:23 pm
Ορθή και ημιορθή.pngΜε κέντρο την κορυφή C , τετραγώνου ABCD , γράφω τον κύκλο (C,CB) . Από σημείο P

της προέκτασης της AB φέρω την εφαπτομένη PT του κύκλου , η οποία τέμνει την προέκταση

της AD στο Q . Η QC τέμνει την BT στο S . Υπολογίστε τις γωνίες : \widehat{BSD} και \widehat{QSD} .
Εστω \hat{CQT}=\hat{\omega }=\hat{AQC}
Τότε \hat{TDQ}=\hat{DTC}=\omega ,\hat{QPC}=\hat{CPB}=45-\omega =\hat{CBT}=\hat{CTB},\hat{BTC}=\hat{CBT}=45-\omega γιατί \hat{Q}+\hat{P}=90^{0}
Η QC είναι μεσοκάθετος στο DT Αρα DS=ST,\hat{CDS}=\hat{CTS}=45-\omega =\hat{CBS} οποτε το τετράπλευρο DBSC είναι εγράψιμο και \hat{DSB}=\hat{DCB}=90^{0},\hat{DSC}=\hat{DBC}=45^{0}



Γιάννης
Συνημμένα
Ορθή και ημιορθή.png
Ορθή και ημιορθή.png (114.2 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Ορθή και ημι-ορθή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Τρί Αύγ 20, 2019 10:27 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Αύγ 20, 2019 7:23 pm
Ορθή και ημιορθή.pngΜε κέντρο την κορυφή C , τετραγώνου ABCD , γράφω τον κύκλο (C,CB) . Από σημείο P

της προέκτασης της AB φέρω την εφαπτομένη PT του κύκλου , η οποία τέμνει την προέκταση

της AD στο Q . Η QC τέμνει την BT στο S . Υπολογίστε τις γωνίες : \widehat{BSD} και \widehat{QSD} .
draw1.png
draw1.png (28.13 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές
..καλησπέρα..

επειδή \bigtriangleup DQC=\bigtriangleup SQT\Rightarrow \widehat{DQS}=\widehat{SQT}=\chi και ταυτόχρονα: \widehat{TSQ}=\widehat{QSD}=\omega

Ταυτόχρονα έχουμε στο \bigtriangleup QCD : (\widehat{D}=90^{\circ})\wedge DN\perp QC\Rightarrow \widehat{CQD}=\widehat{CDN}=\chi

Όμως \widehat{BTP}=\widehat{TQS}+\widehat{TSQ}=\chi +\omega (ως εξωτερική γωνία) και ταυτόχρονα \widehat{BTP}=\widehat{(TDB)} (χορδή-εφαπτόμενη).

Κατά συνέπεια έχουμε: c=\chi +\omega =\chi +45^{\circ}\Rightarrow \omega =45^{\circ} ενώ επίσης : \widehat{DSB}=180^{\circ}-\widehat{DSQ}-\widehat{QST}\Rightarrow \widehat{DSB}=90^{\circ}.-


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης