Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Αύγ 10, 2019 10:05 pm

Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα.PNG
Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα.PNG (47.99 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές
Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο ABCD και E το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Αν K,L,M,N τα βαρύκεντρα των τριγώνων AEB,BEC,ECD,EDA αντίστοιχα τότε :

α)Να δείξετε ότι το KLMN είναι παράλληλόγραμμο.

β)Να υπολογίσετε τον λόγο \dfrac{\left ( KLMN \right )}{\left ( ABCD \right )}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1471
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Αύγ 10, 2019 11:58 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Σάβ Αύγ 10, 2019 10:05 pm
Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα.PNG
Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο ABCD και E το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Αν K,L,M,N τα βαρύκεντρα των τριγώνων AEB,BEC,ECD,EDA αντίστοιχα τότε :

α)Να δείξετε ότι το KLMN είναι παράλληλόγραμμο.

β)Να υπολογίσετε τον λόγο \dfrac{\left ( KLMN \right )}{\left ( ABCD \right )}
Γεια σου Πρόδρομε! :)

α) Έστω, Y \equiv AN \cap BD, Z \equiv AK \cap BC.

Τότε, αφού τα N,K είναι βαρύκεντρα είναι AN=2NY, AK=2KZ \Rightarrow \dfrac{AN}{NY}=\dfrac{AK}{KZ}=2 άρα από αντίστροφο Θαλή NK \parallel YZ \equiv DB \Rightarrow NK \parallel DB.

Όμοια, ML \parallel DB άρα NK \parallel ML και όμοια KL \parallel NM άρα το KLMN είναι παραλληλόγραμμο.

β) Έστω, X \equiv AE \cap NK και S \equiv NM \cap DB.

Τότε, είναι (NXES)=(AEY)-(ANX)-(NYS)=\dfrac{(ADE)}{2}-\dfrac{4(AYE)}{9}-\dfrac{(AYE)}{9}=\dfrac{(ADE)}{2}-\dfrac{5(AYE)}{9}=
\dfrac{(ADE)}{2}-\dfrac{5(ADE)}{18}=\dfrac{2(ADE)}{9}.

Όμοια, (XKTE)=\dfrac{2(AEB)}{9} (με T \equiv KL \cap DB) και τα κυκλικά.

Άρα, (KLMN)=(NXES)+(KXET)+(SEWM)+(TEWL)=
\dfrac{2}{9}((ADE)+(AEB)+(DEC)+(BEC))=\dfrac{2(ABCD)}{9}


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Αύγ 11, 2019 12:16 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Σάβ Αύγ 10, 2019 10:05 pm
Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα.PNG

Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο ABCD και E το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Αν K,L,M,N τα βαρύκεντρα των τριγώνων AEB,BEC,ECD,EDA αντίστοιχα τότε :

α)Να δείξετε ότι το KLMN είναι παράλληλόγραμμο.

β)Να υπολογίσετε τον λόγο \dfrac{\left ( KLMN \right )}{\left ( ABCD \right )}
Την καλησπέρα μου στα παιδιά μας !!!!
Το τετράπλευρο KLMN είναι (λόγω των βαρυκέντων) το ομοιόθετο του παραλληλογράμμου {{K}_{1}}{{L}_{1}}{{M}_{1}}{{N}_{1}} (γνωστότατη πρόταση), όπου {{K}_{1}},{{L}_{1}}.{{M}_{1}}.{{N}_{1}} είναι τα μέσα των AB,BC,CD,DA αντίστοιχα με κέντρο ομοιοθεσίας το E και λόγο \dfrac{2}{3} και συνεπώς είναι και αυτό παραλληλόγραμμο και μάλιστα
\dfrac{\left( KLMN \right)}{\left( {{K}_{1}}{{L}_{1}}{{M}_{1}}{{N}_{1}} \right)}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{9}\overset{\left( ABCD \right)=2\left( {{K}_{1}}{{L}_{1}}{{M}_{1}}{{N}_{1}} \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{\left( KLMN \right)}{\left( ABCD \right)}=\dfrac{2}{9}


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραλληλόγραμμο από βαρύκεντρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Αύγ 11, 2019 12:57 am

Το ι) υπάρχει ήδη αλλά θα το δούμε και λίγο αλλιώς μέσα στην απόδειξη του ιι). Το ιι) αλλιώς:

Από το γεγονός ότι τα N, K διαιρούν τις διαμέσους σε λόγο 2:3, εύκολα βλέπουμε ότι NM=  \frac {1}{3} DB = ML, και όμοια KL=  \frac {1}{3} AC = NM. 'Επεται ότι το KLMN είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης από την ισότητα των γωνιών NKL, AEB (έστω  \theta) είναι

 (KLMN) =  NM \cdot KL \sin \theta =  \frac {1}{9}  DB \cdot AC \sin \theta = \frac {2}{9} \left ( \frac {1}{2}  DB \cdot AC \sin \theta \right) = \frac {2}{9} (ABCD)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης