Τυχαίο σημείο σε πολύγωνο

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Έστω

-γωνο

και τυχαίο σημείο

στο εσωτερικό του.

Να δείξετε ότι $\dfrac{\sin\widehat{\theta _1}}{\sin\widehat{\varphi _1}}\cdot \dfrac{\sin\widehat{\theta _2}}{\sin\widehat{\varphi _2}}\cdot ....\cdot \dfrac{\sin\widehat{\theta _n}}{\sin\widehat{\varphi _n}}=1$

(η άσκηση είναι δικής μου καταστευής πιθανόν όμως να είναι γνωστή,αν κριθεί ακατάλληλη για τον φάκελο ας μετακινηθεί)

: 83.PNG (27.91 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Ορέστης Λιγνός · #2

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 05, 2019 2:34 pm
Έστω -γωνο και τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του.

Να δείξετε ότι $\dfrac{\sin\widehat{\theta _1}}{\sin\widehat{\varphi _1}}\cdot \dfrac{\sin\widehat{\theta _2}}{\sin\widehat{\varphi _2}}\cdot ....\cdot \dfrac{\sin\widehat{\theta _n}}{\sin\widehat{\varphi _n}}=1$

(η άσκηση είναι δικής μου καταστευής πιθανόν όμως να είναι γνωστή,αν κριθεί ακατάλληλη για τον φάκελο ας μετακινηθεί)

83.PNG

Ωραίο Πρόδρομε! Μοιάζει με γενίκευση του Θ.Ceva από τρίγωνα σε πολύγωνα

.

Αρκεί ισοδύναμα να δείξουμε ότι $\dfrac{\sin \theta_2}{\sin \phi_1} \cdot \dfrac{\sin \theta_3}{\sin \phi_2} \cdots \dfrac{\sin \theta_1}{\sin \phi_n}=1$ .

Όμως, από Ν.Ημιτόνων, $\dfrac{\sin \theta_{i+1}}{\sin \phi_i}=\dfrac{KA_{i+1}}{KA_{i+2}}$ για κάθε $i \in \{1,2 \ldots, n-1 \}$ και με n+1=1

και

.

Οπότε, αφού είναι $\dfrac{KA_2}{KA_3} \cdot \dfrac{KA_3}{KA_4} \cdots \dfrac{KA_1}{KA_2}=1$ η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Xriiiiistos · #3

Βασικά είναι μια μορφή γενίκευσης της τριγωνομετρικής μορφής Ceva. Mια άλλη γενίκευση για την μετρική σχέση ceva στο κύκλο είναι πως αν τα σημεία A,B,C,D,E,F

είναι σημεία της περιμέτρου κύκλου τοποθετημένα με αρκιβώς αυτήν την σειρά τότε οι AD,BE,CF

συντρέχουν αν και μόνο αν $\frac{AB}{BC}\cdot \frac{CD}{DE}\cdot \frac{EZ}{ZA}=1$ .

Τυχαίο σημείο σε πολύγωνο

Τυχαίο σημείο σε πολύγωνο

Re: Τυχαίο σημείο σε πολύγωνο

Re: Τυχαίο σημείο σε πολύγωνο

Μέλη σε σύνδεση