Γωνίες τραπεζίου 2

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8430
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γωνίες τραπεζίου 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 13, 2019 6:46 pm

Στο τραπέζιο ABCD είναι AB=AC=BD και έστω M το μέσο της πλευράς CD. Αν M\widehat BC=B\widehat AC,

να βρείτε τα μέτρα των γωνιών του τραπεζίου χωρίς τη χρήση αυτής (το σχήμα αποτελεί μέρος της λύσης).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6737
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνίες τραπεζίου 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιουν 15, 2019 6:01 pm

Γωνίες τραπεζίου 2_extra.png
Γωνίες τραπεζίου 2_extra.png (24.28 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
Προφανώς το τραπέζιο ABCD είναι ισοσκελές τραπέζιο . Έστω N το σημείο τομής των διαγωνίων του και K το κέντρο του κύκλου : (D,N,C)

Το τετράπλευρο KDNC είναι ρόμβος , επειδή δε \widehat {DKN} = 2\widehat {{\theta _2}} = 2\widehat {{\theta _1}} = 2\widehat \theta  \Rightarrow \widehat \theta  = 30^\circ

Τα υπόλοιπα απλά .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8430
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνίες τραπεζίου 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 16, 2019 10:36 am

Αλλιώς. Το τραπέζιο ABCD είναι προφανώς ισοσκελές. Με τις γωνίες που φαίνονται στο σχήμα τα τρίγωνα BMC, BDC είναι όμοια.
Γωνίες τραπεζίου.ΙΙ.png
Γωνίες τραπεζίου.ΙΙ.png (19.09 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές
\displaystyle \frac{{MB}}{{BD}} = \frac{{BC}}{{DC}} = \frac{{MC}}{{BC}} \Rightarrow B{C^2} = \frac{{D{C^2}}}{2},\frac{{MB}}{{BD}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \boxed{\dfrac{MB}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt 2}} Άρα το MAB είναι ορθογώνιο και

ισοσκελές, οπότε \displaystyle \varphi  + \theta  = 45^\circ. Αλλά, \displaystyle \omega  = 2\theta  + \varphi  \Rightarrow 5\theta  + 2\varphi  = 180^\circ  \Leftrightarrow 3\theta  + 2 \cdot 45^\circ  = 180^\circ  \Rightarrow

\displaystyle \theta  = 30^\circ ,\varphi  = 15^\circ . Επομένως, \boxed{\widehat A = \widehat B = 75^\circ ,\widehat C = \widehat D = 105^\circ }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης