Οξεία γωνίτιδα

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10689
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Οξεία γωνίτιδα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μάιος 16, 2019 9:52 pm

Οξεία  γωνίτιδα.png
Οξεία γωνίτιδα.png (13.09 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές
\bigstar Το παραλληλόγραμμο ABCD του σχήματος έχει ύψη με μήκη 10 και 15 και

περίμετρο 60 . Υπολογίστε την εφαπτομένη της οξείας γωνίας των διαγωνίων του .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 356
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Οξεία γωνίτιδα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Μάιος 18, 2019 11:42 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μάιος 16, 2019 9:52 pm
Οξεία γωνίτιδα.png\bigstar Το παραλληλόγραμμο ABCD του σχήματος έχει ύψη με μήκη 10 και 15 και

περίμετρο 60 . Υπολογίστε την εφαπτομένη της οξείας γωνίας των διαγωνίων του .
Έστω a=AD, θα είναι AB=30-a. Φέρω τα ύψη DM=10,BH=15.
Είναι:

\left\{\begin{matrix} & \left ( ABD \right )=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AD & \\ \\ & \left ( ABD \right )=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot HB & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 15a=10a-300\Leftrightarrow a=12,30-a=18

Είναι
AM=\sqrt{144-100}=2\sqrt{11 }\Rightarrow BD^2=12^2+18^2-2\cdot 18\cdot 2\sqrt{11}=468-72\sqrt{11}\Leftrightarrow BD=...6\sqrt{13-2\sqrt{11}}
και AC=6\sqrt{13+2\sqrt{11}}.

Με νόμο ημιτόνων στο ADS:
\dfrac{AD}{\sin\vartheta }=\dfrac{AS}{\sin\vartheta }\Leftrightarrow \dfrac{12}{\sin\vartheta }=\dfrac{3\sqrt{13+2\sqrt{11}}}{\dfrac{5}{2\sqrt{13-2\sqrt{11}}}}=\dfrac{6\sqrt{125}}{5}\Leftrightarrow \sin\vartheta =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}, \cos\vartheta =\sqrt{1-\dfrac{20}{25}}\Leftrightarrow ...\boxed{\tan\vartheta =2}
Συνημμένα
Capture.87PNG.PNG
Capture.87PNG.PNG (25.5 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6620
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Οξεία γωνίτιδα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 19, 2019 8:37 pm

Βρίσκω τις πλευρές του παραλληλογράμμου ABCD απλά: AB = 18\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD = 12. Θεωρώ Kτην προβολή του D στην AB.

Είναι \boxed{\sin \omega  = \frac{5}{6}}\,\,(1)

Φέρνω τη μεσοκάθετο του AC και την κάθετη στο B επί την AB που τέμνονται στο T. Θέτω TA = TC = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB = y

Προφανώς το τετράπλευρο ATBS είναι εγγράψιμο άρα , \boxed{\widehat \theta  = \widehat {BTA}}\,\,(2)

Από το θεώρημα συνημίτονου στο \vartriangle BTC και το Π. Θ. στο \vartriangle ABT έχω:
Οξεία γωνίτιδα.png
Οξεία γωνίτιδα.png (24.91 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} = T{C^2} = B{T^2} + B{C^2} - 2BT \cdot BC\cos \xi  \hfill \\ 
  {x^2} = {18^2} + {y^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} = {y^2} + {12^2} + 24y\sin \omega  \hfill \\ 
  {x^2} = {18^2} + {y^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Γιατί \widehat \xi  = 90^\circ  + \widehat \omega . Λόγω της (1) από τις προηγούμενες έχω :

{y^2} + 144 + 20y = {y^2} + 324 \Leftrightarrow \boxed{y = 9} συνεπώς και λόγω της (2) \boxed{\tan \theta  = \frac{{18}}{9} = 2}.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6620
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Οξεία γωνίτιδα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 23, 2019 9:01 am

Αφού τα ύψη είναι 10\,\,\kappa \alpha \iota \,\,15 και η περίμετρος του παραλληλογράμμου 60 εύκολα έχω τα μήκη των πλευρών του : AB = DC = 18\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = AD = 12\,\,.

Θεωρώ K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P τις προβολές των D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C στις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD αντίστοιχα .

Αν θέσω \boxed{CP = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SP = y} θα είναι \boxed{\tan \theta  = \frac{x}{y}}\,\,\,(1) .

Επειδή το εμβαδόν E = (ABCD) = 18 \cdot 10 = 180 θα είναι (BCD) = 90 \Rightarrow \dfrac{1}{2}DB \cdot x = 90 \Leftrightarrow \boxed{xDB = 180}\,\,(2).
Οξεία γωνίτιδα_αλλιώς.png
Οξεία γωνίτιδα_αλλιώς.png (16.51 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές

Αλλά από το δεύτερο θεώρημα διαμέσων στο \vartriangle BCD έχω:

C{D^2} - C{B^2} = 2DB \cdot SP \Rightarrow {18^2} - {12^2} = 2yDB \Rightarrow \boxed{yDB = 90}\,\,\,(3)

Από (2)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3) έχω : xDB = 2yDB \Rightarrow x = 2y \Leftrightarrow \boxed{\frac{x}{y} = 2} , οπότε λόγω της (1) θα είναι : \boxed{\tan \theta  = 2}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4367
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Οξεία γωνίτιδα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μάιος 23, 2019 6:15 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ήταν ενδιαφέρουσα πρόκληση να αντιμετωπιστεί το ερώτημα του Θανάση, δίχως βοηθητικές (αν δεχτούμε ότι η χρήση συστήματος συντεταγμένων δεν νοείται ως βοηθητική).

23-05-2019 Γεωμετρία.png
23-05-2019 Γεωμετρία.png (32.49 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές

Έστω a, b, 0 < b < a οι πλευρές του, οπότε  \displaystyle a + b = 30 .

Επίσης είναι  \displaystyle 10a = 15b \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}b οπότε  \displaystyle \frac{3}{2}b + b = 30 \Leftrightarrow b = 12 άρα a=18.

Τότε  \displaystyle A\left( {0,\;0} \right),\;\;B\left( {18,0} \right),\;\;C\left( {c,10} \right),\;D\left( {d,\;10} \right) με  \displaystyle AD = 12 \Leftrightarrow {d^2} + {10^2} = {12^2} \Leftrightarrow d = 2\sqrt {11}

και  \displaystyle c = 2\sqrt {11}  + 18

Οπότε  \varepsilon \varphi \omega  = \frac{{10}}{{18 + 2\sqrt {11} }} = \frac{{9 - \sqrt {11} }}{{14}},\;\;\varepsilon \varphi \varphi  = \frac{{10}}{{18 - 2\sqrt {11} }} = \frac{{9 + \sqrt {11} }}{{14}}

Είναι  \displaystyle \theta  = \omega  + \varphi  \Rightarrow \varepsilon \varphi \theta  = \varepsilon \varphi \left( {\omega  + \varphi } \right) = \frac{{\varepsilon \varphi \omega  + \varepsilon \varphi \varphi }}{{1 - \varepsilon \varphi \omega  \cdot \varepsilon \varphi \varphi }} = \frac{{\frac{{18}}{{14}}}}{{1 - \frac{{70}}{{196}}}} = 2


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης