Διπλάσιο

KARKAR · #1

: Διπλάσιο.png (7.01 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές

Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD

γράψαμε το τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{BD}$ ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο

, ώστε : $\widehat{DSC}=90^0$ .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα

είναι διπλάσιο του

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm
Διπλάσιο.pngΣτο εσωτερικό τετραγώνου γράψαμε το τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{BD}$ ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο , ώστε : $\widehat{DSC}=90^0$ .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα είναι διπλάσιο του .

Φέρω το

' συμμετρικό του

ως προς το

και συμπληρώνω το υπόλοιπο ημικύκλιο.

Επειδή $\widehat{DSC}=90^{\circ}$ θα είναι D',S,C

συνευθειακά.

Άρα $\widehat{AD'S}=\widehat{SDC}\Leftrightarrow \tan\widehat{SDC}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \boxed{DS=2CS}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm
Διπλάσιο.pngΣτο εσωτερικό τετραγώνου γράψαμε το τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{BD}$ ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο , ώστε : $\widehat{DSC}=90^0$ .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα είναι διπλάσιο του .

: Διπλάσιο..png (11.29 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

Έστω

το μέσο του DS.

Τα ορθογώνια τρίγωνα AMD, DSC

είναι ίσα γιατί έχουν AD=DC=a

και $\omega=\varphi$ (συμπληρωματικές της ίδιας γωνίας). Οπότε, DM=CS

και $\boxed{DS=2CS}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm
Διπλάσιο.pngΣτο εσωτερικό τετραγώνου γράψαμε το τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{BD}$ ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο , ώστε : $\widehat{DSC}=90^0$ .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα είναι διπλάσιο του .

Και με Αναλυτική, για να υπάρχει:

Παίρνουμε a=10b

(περιττό αυτό αλλά γλιτώνουμε την πλητρολόγιση παρονομαστών). Με αρχή αξόνων το A(0,0)

είναι

. Το

βρίσκεται στην τομή των κύκλων x^2+y^2=(10b)^2, (x-5b)^2+(y-10b)^2=(5b)^2

(το κέντρο του δεύτερου είναι το μέσον του

).

Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε x=8b, y=6b

(η λύση

απορρίπτεται, άλλωστε είναι το προφανές σημείο τομής D(0,10b)

).

Εύκολα τώρα βρίσκουμε $SD=2\sqrt 5 b= 2SC$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm
Διπλάσιο.pngΣτο εσωτερικό τετραγώνου γράψαμε το τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{BD}$ ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο , ώστε : $\widehat{DSC}=90^0$ .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα είναι διπλάσιο του .

Είναι, $\displaystyle \angle DSB = {135^0} \Rightarrow \angle PSD = \angle PSC = {45^0}$

Ακόμη, $\displaystyle x\left( {x + a} \right) = {\left( {a - x} \right)^2} = PS \cdot PB \Rightarrow x = \frac{a}{3}$ άρα $\displaystyle DP = 2PC$ και $\displaystyle \frac{{DS}}{{SC}} = \frac{{DP}}{{PC}} = 2$

: Διπλάσιο.png (16.75 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm
Στο εσωτερικό τετραγώνου γράψαμε το τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{BD}$ ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο , ώστε : $\widehat{DSC}=90^0$ .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα είναι διπλάσιο του .

Καλημέρα!

: shape.png (18.16 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές

Συμπληρώνω το ημικύκλιο και θέτω $K \equiv DS \cap AB$

Από το εγγράψιμο $CSBK \Rightarrow \angle BCK = \angle BSK = \angle BED = {45^ \circ }$ και απ’ την ομοιότητα των $\triangleleft KAD, \triangleleft DSC$ το ζητούμενο έπεται.

STOPJOHN · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm
Διπλάσιο.pngΣτο εσωτερικό τετραγώνου γράψαμε το τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{BD}$ ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο , ώστε : $\widehat{DSC}=90^0$ .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα είναι διπλάσιο του .

Από καθετότητα πλευρών εχουμε την ισότητα των γωνιών $\hat{CDS}=\hat{SCT}=\hat{ADI},\hat{CIB}=\hat{DIA}=\hat{STC}$ και απο τα όμοια τρίγωνα $CST,ICB,ST=\dfrac{SC}{2},TC=\dfrac{\sqrt{5}SC}{2}$

Απο μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο $DCT,CT^{2}=ST.DT\Rightarrow DS=2SC$

Γιάννης

Διπλάσιο

Διπλάσιο

Re: Διπλάσιο

Re: Διπλάσιο

Re: Διπλάσιο

Re: Διπλάσιο

Re: Διπλάσιο

Re: Διπλάσιο

Μέλη σε σύνδεση