Διπλάσιο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10734
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διπλάσιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm

Διπλάσιο.png
Διπλάσιο.png (7.01 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές
Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD γράψαμε το τεταρτοκύκλιο A\overset{\frown}{BD} ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο S , ώστε : \widehat{DSC}=90^0 .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα DS είναι διπλάσιο του CS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Διπλάσιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Μάιος 08, 2019 9:54 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm
Διπλάσιο.pngΣτο εσωτερικό τετραγώνου ABCD γράψαμε το τεταρτοκύκλιο A\overset{\frown}{BD} ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο S , ώστε : \widehat{DSC}=90^0 .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα DS είναι διπλάσιο του CS .
Φέρω το D' συμμετρικό του D ως προς το A και συμπληρώνω το υπόλοιπο ημικύκλιο.

Επειδή \widehat{DSC}=90^{\circ} θα είναι D',S,C συνευθειακά.

Άρα \widehat{AD'S}=\widehat{SDC}\Leftrightarrow \tan\widehat{SDC}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \boxed{DS=2CS}
Συνημμένα
Capture62.PNG
Capture62.PNG (19.09 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8296
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλάσιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 09, 2019 10:37 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm
Διπλάσιο.pngΣτο εσωτερικό τετραγώνου ABCD γράψαμε το τεταρτοκύκλιο A\overset{\frown}{BD} ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο S , ώστε : \widehat{DSC}=90^0 .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα DS είναι διπλάσιο του CS .
Διπλάσιο..png
Διπλάσιο..png (11.29 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
Έστω M το μέσο του DS. Τα ορθογώνια τρίγωνα AMD, DSC είναι ίσα γιατί έχουν AD=DC=a

και \omega=\varphi (συμπληρωματικές της ίδιας γωνίας). Οπότε, DM=CS και \boxed{DS=2CS}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11342
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διπλάσιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 09, 2019 7:47 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm
Διπλάσιο.pngΣτο εσωτερικό τετραγώνου ABCD γράψαμε το τεταρτοκύκλιο A\overset{\frown}{BD} ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο S , ώστε : \widehat{DSC}=90^0 .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα DS είναι διπλάσιο του CS .
Και με Αναλυτική, για να υπάρχει:

Παίρνουμε a=10b (περιττό αυτό αλλά γλιτώνουμε την πλητρολόγιση παρονομαστών). Με αρχή αξόνων το A(0,0) είναι B(10b,0), C(10b,10b), D(0,10b). Το S βρίσκεται στην τομή των κύκλων x^2+y^2=(10b)^2, (x-5b)^2+(y-10b)^2=(5b)^2 (το κέντρο του δεύτερου είναι το μέσον του CD).

Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε x=8b, y=6b (η λύση x=0, y=10b απορρίπτεται, άλλωστε είναι το προφανές σημείο τομής D(0,10b)).

Εύκολα τώρα βρίσκουμε SD=2\sqrt 5 b= 2SC.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1646
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διπλάσιο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μάιος 09, 2019 11:54 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm
Διπλάσιο.pngΣτο εσωτερικό τετραγώνου ABCD γράψαμε το τεταρτοκύκλιο A\overset{\frown}{BD} ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο S , ώστε : \widehat{DSC}=90^0 .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα DS είναι διπλάσιο του CS .

Είναι, \displaystyle \angle DSB = {135^0} \Rightarrow \angle PSD = \angle PSC = {45^0}

Ακόμη, \displaystyle x\left( {x + a} \right) = {\left( {a - x} \right)^2} = PS \cdot PB \Rightarrow x = \frac{a}{3} άρα \displaystyle DP = 2PC και \displaystyle \frac{{DS}}{{SC}} = \frac{{DP}}{{PC}} = 2
Διπλάσιο.png
Διπλάσιο.png (16.75 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Διπλάσιο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Μάιος 10, 2019 7:05 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm
Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD γράψαμε το τεταρτοκύκλιο A\overset{\frown}{BD} ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο S , ώστε : \widehat{DSC}=90^0 .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα DS είναι διπλάσιο του CS .
Καλημέρα!
shape.png
shape.png (18.16 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές
Συμπληρώνω το ημικύκλιο και θέτω K \equiv DS \cap AB

Από το εγγράψιμο CSBK \Rightarrow \angle BCK = \angle BSK = \angle BED = {45^ \circ } και απ’ την ομοιότητα των  \triangleleft KAD, \triangleleft DSC το ζητούμενο έπεται.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1807
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Διπλάσιο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Μάιος 10, 2019 12:21 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 08, 2019 9:27 pm
Διπλάσιο.pngΣτο εσωτερικό τετραγώνου ABCD γράψαμε το τεταρτοκύκλιο A\overset{\frown}{BD} ,

επί του οποίου εντοπίσαμε σημείο S , ώστε : \widehat{DSC}=90^0 .

Εξηγήστε γιατί το τμήμα DS είναι διπλάσιο του CS .

Από καθετότητα πλευρών εχουμε την ισότητα των γωνιών \hat{CDS}=\hat{SCT}=\hat{ADI},\hat{CIB}=\hat{DIA}=\hat{STC} και απο τα όμοια τρίγωνα CST,ICB,ST=\dfrac{SC}{2},TC=\dfrac{\sqrt{5}SC}{2}

Απο μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο DCT,CT^{2}=ST.DT\Rightarrow DS=2SC




Γιάννης
Συνημμένα
Διπλάσιο.png
Διπλάσιο.png (73.74 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες