Σελίδα 1 από 1

Αναμενόμενο μέσο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 20, 2019 12:07 pm
από Doloros
Αναμενόμενο μέσο.png
Αναμενόμενο μέσο.png (13.9 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου \overline {AOB} και τυχαίο του σημείο C. Στην προέκταση του BC προς το C θεωρώ σημείο S και στην ευθεία SO σημείο D.

Η κάθετη από το D στην ACτέμνει την AS στο σημείο M και την από το A παράλληλη στην AB, στο σημείο E.

Δείξετε ότι MD = ME.

Μόνο για μαθητές μέχρι τη φιέστα του ΠΑΟΚ

Re: Αναμενόμενο μέσο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 22, 2019 10:48 am
από george visvikis
Doloros έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 12:07 pm
Αναμενόμενο μέσο.png


Έστω ημικύκλιο διαμέτρου \overline {AOB} και τυχαίο του σημείο C. Στην προέκταση του BC προς το C θεωρώ σημείο S και στην ευθεία SO σημείο D.

Η κάθετη από το D στην ACτέμνει την AS στο σημείο M και την από το A παράλληλη στην AB, στο σημείο E.

Δείξετε ότι MD = ME.

Μόνο για μαθητές μέχρι τη φιέστα του ΠΑΟΚ
Φέρνω από το D παράλληλη στην AB που τέμνει τις SA, SB στα K, L αντίστοιχα.
Αναμενόμενο μέσο.png
Αναμενόμενο μέσο.png (18.13 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές
Αφού AO=OB θα είναι και KD=DL. Αλλά το ESLD είναι προφανώς παραλληλόγραμμο,

οπότε ES||=KD, άρα και το ESDK είναι παραλληλόγραμμο που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Re: Αναμενόμενο μέσο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 22, 2019 11:50 am
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Doloros έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 12:07 pm
Αναμενόμενο μέσο.png


Έστω ημικύκλιο διαμέτρου \overline {AOB} και τυχαίο του σημείο C. Στην προέκταση του BC προς το C θεωρώ σημείο S και στην ευθεία SO σημείο D.

Η κάθετη από το D στην ACτέμνει την AS στο σημείο M και την από το A παράλληλη στην AB, στο σημείο E.

Δείξετε ότι MD = ME.

Μόνο για μαθητές μέχρι τη φιέστα του ΠΑΟΚ
Με \displaystyle Z συμμετρικό του \displaystyle E ως προς \displaystyle S θα ισχύει \displaystyle \frac{{ES}}{{SZ}} = \frac{{FO}}{{OH}} \Rightarrow FO = OH \Rightarrow AF = HB

κι επειδή \displaystyle SB//ED \Rightarrow N μέσον της \displaystyle ZD

Τώρα, \displaystyle \frac{{ES}}{{AF}} = \frac{{SM}}{{MA}} και \displaystyle \frac{{ZS}}{{HB}} = \frac{{SN}}{{NB}} ,άρα \displaystyle \frac{{SM}}{{MA}} = \frac{{SN}}{{NB}} \Rightarrow MN//AB//EZ

κι επειδή \displaystyle N μέσον της \displaystyle ZD \Rightarrow M μέσον της \displaystyle ED
Αναμενόμενο μέσο.png
Αναμενόμενο μέσο.png (20.64 KiB) Προβλήθηκε 301 φορές