Σελίδα 1 από 1

Από σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 22, 2019 2:10 pm
από KARKAR
Από  σταθερό  σημείο.png
Από σταθερό σημείο.png (10.81 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές
\bigstar Σημείο S κινείται στην υποτείνουσα BC του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC

και έστωσαν P,T οι προβολές του στις AB,AC αντίστοιχα . Δείξτε ότι η κάθετη από το S

προς την PT διέρχεται από σταθερό σημείο .

Re: Από σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 22, 2019 2:32 pm
από Doloros
Παλιά γνωστή αλλά πάντα ωραία με πολλούς τρόπους ... διαφυγής .

Re: Από σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 23, 2019 8:07 pm
από thanasis.a
KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 22, 2019 2:10 pm
Από σταθερό σημείο.png[/attachment]\bigstar Σημείο S κινείται στην υποτείνουσα BC του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC

και έστωσαν P,T οι προβολές του στις AB,AC αντίστοιχα . Δείξτε ότι η κάθετη από το S

προς την PT διέρχεται από σταθερό σημείο .
draw2.png
draw2.png (29.63 KiB) Προβλήθηκε 297 φορές
..καλησπέρα..

λίγο ανάποδα εχουμε τα εξης:

Σχηματίζω το τετράγωνο ABOC με κέντρο το M. Έστω ακόμα ότι: \widehat{SAP}=\kappa (o\kappa \kappa \iota \nu \eta ),\widehat{OAS}=\pi\rho ( \alpha \sigma \nu \eta ),\widehat{PSN}=\mu \pi (\lambda \varepsilon ),\widehat{BAO}=\widehat{BST}=45^{\circ}.
Από παραλληλόγραμμο TSPA έχουμε \widehat{HAP}=\widetilde{HPA}=\widehat{AST}=\mu(1). Επειδή BC,AO διαγώνιος στο τετράγωνο ABOC έχουμε ότι: AS=SO\Rightarrow \widehat{SAO}=\widehat{SOA}=\pi \rho(2). Όμως: \widehat{ASN}=2\pi \rho ως εξωτερική γωνία στο \bigtriangleup ASO(3). Όμως: \widehat{OAS}+\widehat{SAC}=45^{\circ}\Rightarrow \pi \rho +\mu =45^{\circ}(4). Έχουμε όμως: \widehat{ASN}=90^{\circ}-\mu -\mu \pi(5). Από τις σχέσεις (3),(5) έχουμε: 2\pi \rho =90^{\circ}-\mu -\mu \pi ...\Rightarrow ....\pi \rho +\mu \pi =45^{\circ} (6). Από τις (4),(6) έχουμε: \mu =\mu \pi (7) και αφού \widehat{TPA}+\widehat{TPS}=90^{\circ} από την (7) έχουμε: \widehat{NSP}+\widehat{TPS}=90 ^{\circ}\Rightarrow \boxed{ON\perp TP}. Αρα το σταθερό σημείο είναι η κορυφή O του τετραγώνου ABOC

Re: Από σταθερό σημείο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 23, 2019 8:31 pm
από Mihalis_Lambrou
Με Αναλυτική είναι εύκολη, και δεν χρειάζεται να σκεφτούμε πολύ:

Με αρχή των αξόνων το A και B(1,0), C(0,1), το σημείο S έχει την μορφή (s,1-s) και άρα είναι P(s,0), \, T(0,1-s). Η PT έχει κλίση \frac {1-s}{-s} άρα η κάθετή της ευθεία SN είναι η y-(1-s)= \frac {s}{1-s}(x-s). Παρατηρούμε ότι το x=1,\, y=1 την ικανοποιεί, που σημαίνει ότι η ευθεία διέρχεται από το σταθερό σημείο (1,1).