mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 22, 2019 2:10 pm**

: Από σταθερό σημείο.png (10.81 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές

$\bigstar$ Σημείο

κινείται στην υποτείνουσα

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$

και έστωσαν P,T

οι προβολές του στις AB,AC

αντίστοιχα . Δείξτε ότι η κάθετη από το

προς την

διέρχεται από σταθερό σημείο .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 22, 2019 2:32 pm**

Παλιά γνωστή αλλά πάντα ωραία με πολλούς τρόπους ... διαφυγής .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 23, 2019 8:07 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 22, 2019 2:10 pm
Από σταθερό σημείο.png[/attachment] $\bigstar$ Σημείο κινείται στην υποτείνουσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$

και έστωσαν οι προβολές του στις αντίστοιχα . Δείξτε ότι η κάθετη από το

προς την διέρχεται από σταθερό σημείο .

: draw2.png (29.63 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές

..καλησπέρα..

λίγο ανάποδα εχουμε τα εξης:

Σχηματίζω το τετράγωνο ABOC

με κέντρο το

. Έστω ακόμα ότι: $\widehat{SAP}=\kappa (o\kappa \kappa \iota \nu \eta ),\widehat{OAS}=\pi\rho ( \alpha \sigma \nu \eta ),\widehat{PSN}=\mu \pi (\lambda \varepsilon ),\widehat{BAO}=\widehat{BST}=45^{\circ}.$
Από παραλληλόγραμμο TSPA

έχουμε $\widehat{HAP}=\widetilde{HPA}=\widehat{AST}=\mu$ (1)

. Επειδή

διαγώνιος στο τετράγωνο ABOC

έχουμε ότι: $AS=SO\Rightarrow \widehat{SAO}=\widehat{SOA}=\pi \rho$ (2). Όμως: $\widehat{ASN}=2\pi \rho$ ως εξωτερική γωνία στο $\bigtriangleup ASO$ (3). Όμως: $\widehat{OAS}+\widehat{SAC}=45^{\circ}\Rightarrow \pi \rho +\mu =45^{\circ}$ (4). Έχουμε όμως: $\widehat{ASN}=90^{\circ}-\mu -\mu \pi$ (5). Από τις σχέσεις (3),(5) έχουμε: $2\pi \rho =90^{\circ}-\mu -\mu \pi ...\Rightarrow ....\pi \rho +\mu \pi =45^{\circ}$ (6). Από τις (4),(6) έχουμε: $\mu =\mu \pi$ (7) και αφού $\widehat{TPA}+\widehat{TPS}=90^{\circ}$ από την (7) έχουμε: $\widehat{NSP}+\widehat{TPS}=90 ^{\circ}\Rightarrow \boxed{ON\perp TP}$ . Αρα το σταθερό σημείο είναι η κορυφή

του τετραγώνου ABOC

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 23, 2019 8:31 pm**

Με Αναλυτική είναι εύκολη, και δεν χρειάζεται να σκεφτούμε πολύ:

Με αρχή των αξόνων το

και

, το σημείο

έχει την μορφή (s,1-s)

και άρα είναι $P(s,0), \, T(0,1-s)$ . Η

έχει κλίση $\frac {1-s}{-s}$ άρα η κάθετή της ευθεία

είναι η $y-(1-s)= \frac {s}{1-s}(x-s)$ . Παρατηρούμε ότι το $x=1,\, y=1$ την ικανοποιεί, που σημαίνει ότι η ευθεία διέρχεται από το σταθερό σημείο (1,1)

.

mathematica.gr

Από σταθερό σημείο

Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο