Από σταθερό σημείο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10931
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Από σταθερό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μαρ 22, 2019 2:10 pm

Από  σταθερό  σημείο.png
Από σταθερό σημείο.png (10.81 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές
\bigstar Σημείο S κινείται στην υποτείνουσα BC του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC

και έστωσαν P,T οι προβολές του στις AB,AC αντίστοιχα . Δείξτε ότι η κάθετη από το S

προς την PT διέρχεται από σταθερό σημείο .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6777
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από σταθερό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μαρ 22, 2019 2:32 pm

Παλιά γνωστή αλλά πάντα ωραία με πολλούς τρόπους ... διαφυγής .


thanasis.a
Δημοσιεύσεις: 485
Εγγραφή: Δευ Ιαν 02, 2012 10:09 pm

Re: Από σταθερό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thanasis.a » Σάβ Μαρ 23, 2019 8:07 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 22, 2019 2:10 pm
Από σταθερό σημείο.png[/attachment]\bigstar Σημείο S κινείται στην υποτείνουσα BC του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC

και έστωσαν P,T οι προβολές του στις AB,AC αντίστοιχα . Δείξτε ότι η κάθετη από το S

προς την PT διέρχεται από σταθερό σημείο .
draw2.png
draw2.png (29.63 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές
..καλησπέρα..

λίγο ανάποδα εχουμε τα εξης:

Σχηματίζω το τετράγωνο ABOC με κέντρο το M. Έστω ακόμα ότι: \widehat{SAP}=\kappa (o\kappa \kappa \iota \nu \eta ),\widehat{OAS}=\pi\rho ( \alpha \sigma \nu \eta ),\widehat{PSN}=\mu \pi (\lambda \varepsilon ),\widehat{BAO}=\widehat{BST}=45^{\circ}.
Από παραλληλόγραμμο TSPA έχουμε \widehat{HAP}=\widetilde{HPA}=\widehat{AST}=\mu(1). Επειδή BC,AO διαγώνιος στο τετράγωνο ABOC έχουμε ότι: AS=SO\Rightarrow \widehat{SAO}=\widehat{SOA}=\pi \rho(2). Όμως: \widehat{ASN}=2\pi \rho ως εξωτερική γωνία στο \bigtriangleup ASO(3). Όμως: \widehat{OAS}+\widehat{SAC}=45^{\circ}\Rightarrow \pi \rho +\mu =45^{\circ}(4). Έχουμε όμως: \widehat{ASN}=90^{\circ}-\mu -\mu \pi(5). Από τις σχέσεις (3),(5) έχουμε: 2\pi \rho =90^{\circ}-\mu -\mu \pi ...\Rightarrow ....\pi \rho +\mu \pi =45^{\circ} (6). Από τις (4),(6) έχουμε: \mu =\mu \pi (7) και αφού \widehat{TPA}+\widehat{TPS}=90^{\circ} από την (7) έχουμε: \widehat{NSP}+\widehat{TPS}=90 ^{\circ}\Rightarrow \boxed{ON\perp TP}. Αρα το σταθερό σημείο είναι η κορυφή O του τετραγώνου ABOC


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Από σταθερό σημείο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 23, 2019 8:31 pm

Με Αναλυτική είναι εύκολη, και δεν χρειάζεται να σκεφτούμε πολύ:

Με αρχή των αξόνων το A και B(1,0), C(0,1), το σημείο S έχει την μορφή (s,1-s) και άρα είναι P(s,0), \, T(0,1-s). Η PT έχει κλίση \frac {1-s}{-s} άρα η κάθετή της ευθεία SN είναι η y-(1-s)= \frac {s}{1-s}(x-s). Παρατηρούμε ότι το x=1,\, y=1 την ικανοποιεί, που σημαίνει ότι η ευθεία διέρχεται από το σταθερό σημείο (1,1).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης