Κέντρο στον περίκυκλο

KARKAR · #1

: Κέντρο στον περίκυκλο.png (14.31 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές

Στη βάση

τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με AB<BC

, θεωρούμε σημείο

, ώστε :

.

Δείξτε ότι ο κύκλος (A,S,C)

έχει το κέντρο του

πάνω στον περίκυκλο του τριγώνου και

υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου (K)

, αν :

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Αρκεί να αποδείξω ότι δύο μεσοκάθετες του ACS

τέμνονται πάνω στον κύκλο.

Θεωρώ την μεσοκάθετο της

η οποία τέμνει τον κύκλο στο

.

Αρκεί να δείξω ότι AK=KC

.

Είναι $\widehat{KBS}=\widehat{KBA}\Leftrightarrow \widehat{CAK}=\widehat{BCK}\Leftrightarrow AK=KC$

Για AB=4,BC=6,AC=5

έχουμε
$5^2=4^2+6^2-2\cdot cos\widehat{CBA}\cdot 6\cdot 4\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow cos\widehat{CBA}=\dfrac{9} {16}$
Είναι $cos\widehat{CBA}=-cos\widehat{CKA}$

Άρα στο AKC

$5^2=2r^2+2\cdot \dfrac{9}{16}r^2\Leftrightarrow 25=r^2\left ( 2+\dfrac{9}{8} \right )\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow r=2\sqrt{2}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 05, 2019 9:07 pm
Κέντρο στον περίκυκλο.pngΣτη βάση τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με , θεωρούμε σημείο , ώστε : .

Δείξτε ότι ο κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στον περίκυκλο του τριγώνου και

υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου , αν : .

: κέντρο στο περίκυκλο.png (50.46 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

Λίγο διαφορετικά από την προηγούμενη ανάρτηση ( ωραία Πρόδρομε )

Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat {ABC}$ τέμνει το κύκλο (A,B,C)

έστω στο σημείο

, με άμεση συνέπεια $KA = KC\,\,\,(1)$

Αλλά το τρίγωνο BAS

είναι ισοσκελές οπότε η

μεσοκάθετος στο

και κατά συνέπεια $KA = KS\,\,\,(1)$ . Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ έχω το ζητούμενο : KA = KS = KC

.

Από το $\vartriangle ABC$ έχω $\boxed{\cos \theta = \frac{{36 + 16 - 25}}{{2 \cdot 4 \cdot 6}} = \frac{9}{{16}}}$ και άρα $\boxed{\cos \omega = - \frac{9}{{16}}}$ .

Από το $\vartriangle KAC$ έχω: $\boxed{25 = {R^2} + {R^2} - 2{R^2}\left( { - \frac{9}{{16}}} \right)} \Rightarrow \boxed{R = 2\sqrt 2 }$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 05, 2019 9:07 pm
Κέντρο στον περίκυκλο.pngΣτη βάση τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με , θεωρούμε σημείο , ώστε : .

Δείξτε ότι ο κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στον περίκυκλο του τριγώνου και

υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου , αν : .

Έστω

το κέντρο του κύκλου και

το αντιδιαμετρικό του

Αρκεί να δείξω ότι το ABCK

είναι εγγράψιμο.

: Κέντρο στον περίκυκλο.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

Το

είναι εγγεγραμμένο, άρα: $\displaystyle B\widehat AS = A\widehat SB = A\widehat TC = T\widehat CK \Leftrightarrow A\widehat BS = C\widehat KT,$

οπότε το ABCK

είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται. Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα ABC,

βρίσκω πρώτα $\displaystyle \cos B = \frac{9}{{16}}$ και στη συνέχεια $\displaystyle C{T^2} = 2{r^2} - 2{r^2} \cdot \frac{9}{{16}} \Leftrightarrow C{T^2} = \frac{{7{r^2}}}{8}.$

Τέλος, με Πυθαγόρειο στο ACT,

$\displaystyle 4{r^2} = 25 + \frac{{7{r^2}}}{8} \Leftrightarrow$ $\boxed{r=2\sqrt 2}$

Κέντρο στον περίκυκλο

Κέντρο στον περίκυκλο

Re: Κέντρο στον περίκυκλο

Re: Κέντρο στον περίκυκλο

Re: Κέντρο στον περίκυκλο

Μέλη σε σύνδεση