Αθροιστικά ίσα

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8068
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Αθροιστικά ίσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 08, 2019 9:12 pm

Αθροιστικά ίσα.png
Αθροιστικά ίσα.png (16.01 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές
Στο τόξο \overset\frown{BC} του περίκυκλου ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC), στο οποίο δεν ανήκει η κορυφή A,

κινείται σημείο D και έστω E η προβολή του A στην DC. Να δείξετε ότι DE=BD+EC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5333
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Αθροιστικά ίσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Ιαν 08, 2019 9:31 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 9:12 pm
Στο τόξο \overset\frown{BC} του περίκυκλου ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC), στο οποίο δεν ανήκει η κορυφή A, κινείται σημείο D και έστω E η προβολή του A στην DC. Να δείξετε ότι DE=BD+EC.
Γνωρίζουμε ότι \angle CDB = \pi  - \angle A\;\,\left( 1 \right). Θεωρούμε τον κύκλο (A,AB) που περνά από το σημείο C και τέμνει την DC στο T. Τότε TE=EC και \angle BTD = \frac{1}{2}\angle A\;\,\left( 2 \right). Από τις (1),\;(2) παίρνουμε \angle DBT = \pi  - \left( {\pi  - \angle A} \right) - \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle A \Rightarrow BD = DT. Τελικά έχουμε BD+EC=DT+TE=DE.
gb.png
gb.png (20.8 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6494
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αθροιστικά ίσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 08, 2019 10:33 pm

Παρεμφερές
Αθροιστικά ίσα.png
Αθροιστικά ίσα.png (25.71 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

Υποθέτω BD < DC. Ας είναι T το συμμετρικό του C ως προς το E. άρα το \vartriangle ATC είναι ισοσκελές οπότε AB = AC = AT,

\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} ως εξωτερική του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ABDC , αλλά αφού AC = AT \Leftrightarrow \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}} . Δηλαδή \boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}} . προφανώς δε AB = AT \Leftrightarrow \boxed{\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}}.

Στο τρίγωνο DBT οι εξωτερικές γωνίες του στα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T και άρα είναι ισοσκελές,

Έτσι DB = DT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ET = EC που αν προσθέσω ακραία και μεσαία , κι έχω το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6494
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αθροιστικά ίσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 08, 2019 11:01 pm

Αθροιστικά ίσα_new.png
Αθροιστικά ίσα_new.png (33.61 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Στη προέκταση του DB θεωρώ σημείο T με BT = EC .

Επειδή AB = AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC = BT\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ACD} = \widehat {ABT} τα τρίγωνα AEC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ATB είναι ίσα και θα έχουνAE = AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat T = \widehat E = 90^\circ .

Αναγκαστικά τώρα τα ορθογώνια τρίγωνα ATD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AED θα είναι ίσα γιατί έχουν υποτείνουσα κοινή και AE = AT . Οπότε θα έχουν και DT = DE

( πράσινο και μπλε ίσο με το κόκκινο)


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1044
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Αθροιστικά ίσα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Τετ Ιαν 09, 2019 12:12 am

άθροισμα τμημάτων.PNG
άθροισμα τμημάτων.PNG (28.66 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές
\angle D_1=\angle D_2 (βαίνουν σε ίσα τόξα)
DA διχοτόμος της  \angle D συνεπώς το συμμετρικό Z του D ως προς την DA ανήκει στην DC. Συνεπώς BD=DZ  (1) και AB=AZ.
Είναι τώρα ZAC ισοσκελές, συνεπώς το ύψος AE είναι και διάμεσος. Δηλαδή CE=EZ (2)
Από (1),(2) παίρνουμε  BD+CE=DZ +ZE=DE


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3221
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Αθροιστικά ίσα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Ιαν 09, 2019 6:53 am

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 9:12 pm

Στο τόξο \overset\frown{BC} του περίκυκλου ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC), στο οποίο δεν ανήκει η κορυφή A,

κινείται σημείο D και έστω E η προβολή του A στην DC. Να δείξετε ότι DE=BD+EC.
Καλημέρα!
shape.png
shape.png (21.13 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές
Αν DE = EK, τότε τα τρίγωνα ABD,\,ACK είναι ίσα (Π-Γ-Π) και το ζητούμενο έπεται άμεσα.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10609
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Αθροιστικά ίσα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιαν 09, 2019 8:00 am

Θ περίμενε κανείς την έκφραση : "Σπασμένη χορδή " . Όρα


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6494
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αθροιστικά ίσα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιαν 09, 2019 9:58 am

Μια ακόμα για πλουραλισμό
Αθροιστικά ίσα_Simson.png
Αθροιστικά ίσα_Simson.png (36.11 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές
Αν M το μέσο του BC και T το σημείο τομής των ME\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB η ευθεία \overline {MET} είναι η ευθεία Simson που αντιστοιχεί στο A.

Τα τρίγωνα ορθογώνια AEC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ATB είναι ίσα και άρα \boxed{EC = TB}\,\,(1)

Επειδή \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _3}}, διαδοχικά έχουμε από τα εγγράψιμα τετράπλευρα

ATBM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AMEC : \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _3}} = \widehat {{\omega _4}}

μα τότε το τρίγωνο DTE έχει στα T,E ίσες γωνίες ως συμπληρώματα ίσων γωνιών και θα είναι ισοσκελές . Δηλαδή DT = DE.

Λόγω της (1) έχω αυτό που θέλω..


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1597
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Αθροιστικά ίσα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Ιαν 09, 2019 3:33 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιαν 08, 2019 9:12 pm
Αθροιστικά ίσα.png
Στο τόξο \overset\frown{BC} του περίκυκλου ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC), στο οποίο δεν ανήκει η κορυφή A,

κινείται σημείο D και έστω E η προβολή του A στην DC. Να δείξετε ότι DE=BD+EC.

Σχηματίζοντας το ορθογώνιο \displaystyle DEAH,το \displaystyle AZDC είναι ισοσκελές τραπέζιο,άρα \displaystyle ZD = AC = AB \Rightarrow AZBD

επίσης ισοσκελές τραπέζιο\displaystyle  \Rightarrow AZ = BD

Ακόμη, \displaystyle \vartriangle HZD = \vartriangle AEC \Rightarrow EC = ZH.Άρα \displaystyle \boxed{ED = HA = BD + EC}
Αθροιστικά ίσα.png
Αθροιστικά ίσα.png (24.25 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8068
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αθροιστικά ίσα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιαν 10, 2019 5:10 pm

Σας ευχαριστώ όλους για τις πολύ ωραίες λύσεις! Η δική μου είναι ίδια με τη δεύτερη του Νίκου Φραγκάκη (#4).

Για λόγους πλουραλισμού, θα δώσω και μία εκτός φακέλου.
Αθροιστικά ίσα.β.png
Αθροιστικά ίσα.β.png (17.58 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές
\displaystyle \cos \theta  = \frac{{DE}}{{AD}} και με νόμο συνημιτόνων στο ABC βρίσκω \displaystyle \cos \theta  = \frac{a}{{2b}}. Άρα, \boxed{aAD=2bDE} (1)

Πτολεμαίος στο ABDC: \displaystyle bBD + bDC = aAD\mathop  = \limits^{(1)} 2bDE \Leftrightarrow BD + DC = 2DE \Leftrightarrow \boxed{DE=BD+EC}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης