Τρίγωνο-114.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC

με

.

Ο περίκυκλος του τριγώνου CDA

, τέμνει τη

στο σημείο

.

Δείξτε ότι BE=CD

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα!

$\widehat{BAC}=180-2\cdot 30=120^{\circ}\Leftrightarrow \widehat{EAC}=120^{\circ}-50^{\circ}=70^{\circ}$

Επειδή $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ έχουμε $3\theta =30^{\circ}\Leftrightarrow \vartheta =10^{\circ}$

Άρα $\widehat{CDA}=180-70-10=100^{\circ}$

Προεκτείνουμε την

και τέμνει την

στο

.

Είναι $\widehat{LDC}=\widehat{CLD}=80^{\circ} \,\,\,\alpha \varphi o \dot{\upsilon} \,\,\, \widehat{LDC}=180-100=80^{\circ} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\ \widehat{CLD}=180-30-70=80^{\circ}$
Άρα το τρίγωνο DCL

είναι ισοσκελές άρα CL=CD

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι BE=CL

δηλαδή ότι BL=CE

.

Είναι $\widehat{LAC}=\widehat{ECD}=20^{\circ}\,\,\,\ \dot{\alpha} \varrho \alpha \,\,\, \widehat{LEA}=80^{\circ}$

Τα τρίγωνα BLA

και

είναι ίσα αφού έχουν $\widehat{BLA}=\widehat{CEA}=100^{\circ}\,\,\,,AL=AE \,\,\, \alpha \varphi o\upsilon \,\, \tau o ALE \,\,\, \varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\,\, \iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varepsilon \varsigma$ και $\widehat{BAL}=\widehat{EAC}=50^{\circ}$

Άρα BL=EC

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 30, 2018 2:07 pm
1.png

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με .

Ο περίκυκλος του τριγώνου , τέμνει τη στο σημείο .

Δείξτε ότι .

Ο κύκλος $\displaystyle \left( {A,AB} \right)$ τέμνει τον $\displaystyle \left( {A,D,C} \right)$ στο $\displaystyle F$

Επειδή $\displaystyle \angle DAE = {20^0} \Rightarrow \angle AEB = \angle AFC = {80^0}$ ,άρα $\displaystyle \angle CAF = {20^0}$

Αλλά $\displaystyle \angle DEB = \angle DAC = {70^0}$ ,άρα $\displaystyle \angle EAC = {50^0}$ και η $\displaystyle AE$ ως διχοτόμος του $\displaystyle \vartriangle ABF$ θα είναι

και μεσοκάθετος,επομένως $\displaystyle BE = EF$

Επειδή $\displaystyle \angle DEC = ECF = {110^0} \Rightarrow DECF$ ισοσκελές τραπέζιο άρα $\displaystyle \boxed{DC = EF = BE}$

: T-114.png (154.12 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 30, 2018 2:07 pm
1.png

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με .

Ο περίκυκλος του τριγώνου , τέμνει τη στο σημείο .

Δείξτε ότι .

Καλή Χρονιά σε όλους!

: Τρίγωνο 114.png (26.29 KiB) Προβλήθηκε 628 φορές

Έστω

τα περίκεντρα των AEC, ABE.

Οι κύκλοι έχουν κοινή χορδή

και $\displaystyle A\widehat CE = A\widehat BE = 30^\circ ,$ άρα είναι ίσοι.

$\displaystyle B\widehat AE = D\widehat AC = 70^\circ \Leftrightarrow B\widehat KE = D\widehat OC = 140^\circ,$ οπότε τα τρίγωνα KBE, ODC

είναι ίσα και $\boxed{BE=CD}$

Τρίγωνο-114.

Τρίγωνο-114.

Re: Τρίγωνο-114.

Re: Τρίγωνο-114.

Re: Τρίγωνο-114.

Μέλη σε σύνδεση