Τομή τετραγώνου

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10574
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τομή τετραγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 24, 2018 9:38 pm

Τομή  τετραγώνου.png
Τομή τετραγώνου.png (6.3 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές
\bigstar Δίπλα στο τετράγωνο πλευράς a , βρίσκεται τετράγωνο πλευράς b . Η AZ τέμνει την BC

στο σημείο S . Βρείτε το λόγο \dfrac{b}{a} , ώστε το εμβαδόν του πρασίνου να είναι ίσο με του γαλάζιου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1422
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τομή τετραγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Δεκ 25, 2018 1:16 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 24, 2018 9:38 pm
Τομή τετραγώνου.png
\bigstar Δίπλα στο τετράγωνο πλευράς a , βρίσκεται τετράγωνο πλευράς b . Η AZ τέμνει την BC

στο σημείο S . Βρείτε το λόγο \dfrac{b}{a} , ώστε το εμβαδόν του πρασίνου να είναι ίσο με του γαλάζιου .
Είναι (ABCD)+(HBEZ)=a^2+b^2, οπότε θέλουμε (SBEZ)=\dfrac{a^2+b^2}{2}.

Τα τρίγωνα \vartriangle ASB, \vartriangle AZE είναι όμοια, οπότε \dfrac{SB}{b}=\dfrac{a}{a+b} \Rightarrow SB=\dfrac{ab}{a+b}.
Συνεπώς, το εμβαδόν του τραπεζίου SBZE είναι b \cdot \dfrac{\dfrac{ab}{a+b}+b}{2}.

Οπότε, b \cdot \dfrac{\dfrac{ab}{a+b}+b}{2}=\dfrac{a^2+b^2}{2} (1). Έστω τώρα \dfrac{b}{a}=k.

Τότε, b=ak και η (1) γίνεται (το a απλοποιείται) (2k+k^2)k=(k^2+1)(k+1) \Rightarrow k^2=k+1 \Rightarrow k=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}=\phi (αφού k>0).

Έτσι, \boxed{\dfrac{b}{a}=\phi}, δηλαδή η χρυσή τομή.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6456
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τομή τετραγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 25, 2018 3:55 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 24, 2018 9:38 pm
Τομή τετραγώνου.png\bigstar Δίπλα στο τετράγωνο πλευράς a , βρίσκεται τετράγωνο πλευράς b . Η AZ τέμνει την BC

στο σημείο S . Βρείτε το λόγο \dfrac{b}{a} , ώστε το εμβαδόν του πρασίνου να είναι ίσο με του γαλάζιου .
Ας είναι T το σημείο τομής των AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZH.

Θέτω: (ABS) = X\,\,,\,\,(DCH) = Y\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(ASZE) = F

Για το μη κυρτό πεντάγωνο , AZHCD το ( φυστικί) εμβαδόν του : (AZHCD) = U.

Προφανώς ισχύουν:\left\{ \begin{gathered} 
  2Y + U = X + F \hfill \\ 
  X + U = F \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{X = Y} και άρα DH//AZ. Θέτω τώρα : \boxed{b = ax}
Tομή τετραγώνου.png
Tομή τετραγώνου.png (30.33 KiB) Προβλήθηκε 274 φορές

Επειδή: \dfrac{{TH}}{{HZ}} = \dfrac{{TD}}{{DA}} \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{{b - a}}{a} \Rightarrow {a^2} = ax(ax - a) \Rightarrow \boxed{{x^2} - x - 1 = 0} και άρα :

\boxed{x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 239
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τομή τετραγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Δεκ 25, 2018 5:03 pm

Θέτουμε CS=x

\left ( ABCD \right )+\left ( SHZ \right )=\left (BSZE \right )\Leftrightarrow a^{2}+\frac{b\left ( b-a+x \right 
)}{2}=b^{2}-\frac{b\left ( b-a+x \right )}{2}\Leftrightarrow 2a^{2}+b^{2}-ab+bx=..2b^{2}-b^{2}+ab-bx\Leftrightarrow a^{2}=b\left ( a-x \right )\Leftrightarrow\frac{b}{a}=\frac{a}{a-x}=\tan \widehat{ASB}=\tan\widehat{HSZ}=\frac{b}{b-a+x}\Leftrightarrow \frac{b}{a}=..\frac{b}{b-a+x}\Leftrightarrow a=b+x-a\Leftrightarrow a^{2}=b(b+x-a+x)\Leftrightarrow a^{2}=b^{2}-ab
Θέτουμε b=ak και έχουμε a^{2}=a^{2}k^{2}-a^{2}k\Leftrightarrow k^{2}-k-1=0 κι επειδή k>0 προκύπτει ότι b=a\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow \frac{b}{a}=\varphi.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τομή τετραγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 25, 2018 5:29 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 24, 2018 9:38 pm
Τομή τετραγώνου.png\bigstar Δίπλα στο τετράγωνο πλευράς a , βρίσκεται τετράγωνο πλευράς b . Η AZ τέμνει την BC

στο σημείο S . Βρείτε το λόγο \dfrac{b}{a} , ώστε το εμβαδόν του πρασίνου να είναι ίσο με του γαλάζιου .
Τομή τετραγώνου.png
Τομή τετραγώνου.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές
\displaystyle \frac{{{T_2}}}{{(HZB)}} = \frac{{HS}}{{HB}} = \frac{b}{{a + b}} \Leftrightarrow {T_2} = \frac{{{b^3}}}{{2(a + b)}} και \displaystyle W = {b^2} - {T_2}

\displaystyle {T_1} + {T_2} = W \Leftrightarrow {b^2} - \frac{{{b^3}}}{{a + b}} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2} - ab - {a^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{\frac{b}{a}=\Phi}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1576
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τομή τετραγώνου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Δεκ 26, 2018 4:03 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 24, 2018 9:38 pm
Τομή τετραγώνου.png\bigstar Δίπλα στο τετράγωνο πλευράς a , βρίσκεται τετράγωνο πλευράς b . Η AZ τέμνει την BC

στο σημείο S . Βρείτε το λόγο \dfrac{b}{a} , ώστε το εμβαδόν του πρασίνου να είναι ίσο με του γαλάζιου .

\displaystyle HZ//AB \Rightarrow \frac{{HS}}{{SB}} = \frac{b}{a} \Rightarrow \frac{{HS}}{b} = \frac{b}{{a + b}} \Rightarrow \boxed{HS = \frac{{{b^2}}}{{a + b}}}

\displaystyle {b^2} - X = X + {a^2} \Rightarrow X = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{2} = \frac{{\frac{{{b^2}}}{{a + b}} \cdot b}}{2} \Rightarrow {b^2} = a\left( {a + b} \right) \Rightarrow ..\boxed{\frac{b}{a} = \Phi }
τομή τετραγώνου.png
τομή τετραγώνου.png (6.93 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης