Η άλλη ακτίνα

Συντονιστές: silouan, george visvikis, Doloros

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10398
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η άλλη ακτίνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 14, 2018 8:13 pm

Η  άλλη  ακτίνα.png
Η άλλη ακτίνα.png (9.29 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές
\bigstar Οι μη τεμνόμενοι κύκλοι (O,r) και (K,R) , ( R>r ) έχουν κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο

τμήμα AB=a και κοινό εσωτερικά εφαπτόμενο τμήμα ST=b . I) Δείξτε ότι a>b .

II) Αν είναι γνωστά τα a,b,r , υπολογίστε την R .



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 145
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Η άλλη ακτίνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Δεκ 14, 2018 9:50 pm

Καλησπέρα!

Ι)
Προεκτείνουμε την TS ώστε να τέμνει την AB στο M.Eπειδή τα AM και MS
είναι εφαπτόμενα τμήματα έχουμε: AM=MS=x=\frac{a+b}{2} .Επίσης εφαπτόμενα τμήματα είναι τα  MB και MT άρα MT=MB=y.Από τα παραπάνω έχουμε ότι a=x+y>y-x=b\Leftrightarrow a>b.
II)
Eίναι \tan \theta =\frac{R}{\alpha-x }\Leftrightarrow R=\tan\theta\alpha.Επειδή το a-x το ξέρουμε (αφου x=\frac{a+b}{2})πρέπει να δείξουμε ότι ξέρουμε την \tan \theta.Είναι \tan \omega =\frac{r}{x},επειδή το x και το r είναι γνωστά ξέρουμε την γωνία \widehat{AMS}=2\omega άρα και την παραπληρωματική της την 2\theta άρα και την tan\theta.
Συνημμένα
Capture1.PNG
Capture1.PNG (37.97 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10955
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Η άλλη ακτίνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 14, 2018 11:42 pm

Από το O φέρνουμε παράλληλη προς τις ST η οποία τέμνει κάθετα την προέκταση της KT στο C. Επίσης φέρνουμε από το O παράλληλη της AB η οποία τέμνει κάθετα την KB στο D.

Από τα ορθογώνια τρίγωνα OCK, ODK έχουμε \displaystyle{OC^2+CK^2=OK^2=OD^2+KD^2, οπότε

\displaystyle{b^2+(R+r)^2= a^2+(R-r)^2} , από όπου R=\dfrac {a^2-b^2}{4r}>0.
Συνημμένα
Efapt x 2.png
Efapt x 2.png (14.12 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6271
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η άλλη ακτίνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 15, 2018 2:39 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 14, 2018 8:13 pm
Η άλλη ακτίνα.png\bigstar Οι μη τεμνόμενοι κύκλοι (O,r) και (K,R) , ( R>r ) έχουν κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο

τμήμα AB=a και κοινό εσωτερικά εφαπτόμενο τμήμα ST=b . I) Δείξτε ότι a>b .

II) Αν είναι γνωστά τα a,b,r , υπολογίστε την R .
α) Ας είναι E το σημείο τομής των ευθειών AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS. Επειδή b < TE = EB < a \Rightarrow b < a.

β) OE \bot EK ( διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών ) άρα τα ορθογώνια

τρίγωνα BEK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AOE είναι όμοια ως έχοντα \widehat {AOE} = \widehat {BEK}

( οξείες με κάθετες πλευρές) και από την ομοιότητα αυτή:
Η άλλη ακτίνα.png
Η άλλη ακτίνα.png (26.21 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές

\dfrac{{BE}}{{AO}} = \dfrac{{BK}}{{AE}} \Rightarrow (a - x)x = Rr\,\,(1) Αλλά b = TE - x = a - 2x (2)

Η απαλοιφή του x μεταξύ των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) δίδει : \boxed{R = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{4r}}}. Πράγματι:

\left\{ \begin{gathered} 
  x(a - x) = Rr \hfill \\ 
  b = a - 2x \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{a - b}}{2}(a - \frac{{a - b}}{2}) = Rr \hfill \\ 
  x = \frac{{a - b}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{a - b}}{2} \cdot \frac{{a + b}}{2} = Rr \hfill \\ 
  x = \frac{{a - b}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και η πρώτη δίδει :

{a^2} - {b^2} = 4Rr \Rightarrow \boxed{R = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{4r}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης