Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης

Συντονιστές: silouan, george visvikis, Doloros

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10534
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 13, 2018 9:53 pm

Εφαπτομένη  λόγω  ελαχιστοποίησης.png
Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης.png (8.53 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC η πλευρά AC έχει μήκος 17 και μέσο το σημείο M .

Επίσης είναι γνωστό ότι το ύψος AD έχει μήκος 8 . Το H είναι το ορθόκεντρο

του τριγώνου . Αν το τμήμα HM έχει λάβει την μικρότερη δυνατή τιμή του ,

υπολογίστε : α) Το μήκος του ύψους BE . .. β) την \tan\widehat{BAD} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7909
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 14, 2018 10:14 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 13, 2018 9:53 pm
Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC η πλευρά AC έχει μήκος 17 και μέσο το σημείο M .

Επίσης είναι γνωστό ότι το ύψος AD έχει μήκος 8 . Το H είναι το ορθόκεντρο

του τριγώνου . Αν το τμήμα HM έχει λάβει την μικρότερη δυνατή τιμή του ,

υπολογίστε : α) Το μήκος του ύψους BE . .. β) την \tan\widehat{BAD} .
Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης.png
Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές
Το σημείο M είναι σταθερό, ενώ το H κινείται πάνω στο ύψος AD. Άρα το HM παίρνει την μικρότερη τιμή

όταν είναι κάθετο στο ύψος, δηλαδή H είναι το μέσο του AD. Με Π. Θ βρίσκω DC=15.

α) \displaystyle \cos C = \cos \varphi  \Leftrightarrow \frac{{15}}{{17}} = \frac{{HE}}{4} = \frac{4}{{HB}} \Rightarrow HE = \frac{{60}}{{17}},HB = \frac{{68}}{{15}} και \boxed{BE=\frac{2056}{255}}

β) \displaystyle \tan C = \tan \varphi  \Leftrightarrow \frac{8}{{15}} = \frac{{BD}}{4} \Leftrightarrow BD = \frac{{32}}{{15}} και \displaystyle \tan \theta  = \frac{{BD}}{{AD}} \Leftrightarrow \boxed{\tan\theta=\frac{4}{15}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6413
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εφαπτομένη λόγω ελαχιστοποίησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Δεκ 14, 2018 12:48 pm

Αφού το σημείο M είναι σταθερό, εκτός της σταθερής ευθείας AD, το τμήμα MH γίνεται ελάχιστο αν και μόνο αν MH \bot AD.

Ας είναι T το άλλο σημείο τομής της AD με τον κύκλο (A,B,C) . Θέτω BD = x.

Ως γνωστό \boxed{TD = DH = 4} . Μετά απ’ αυτά :

Εφαπτομένη  απο ελαχιστοποίηση.png
Εφαπτομένη απο ελαχιστοποίηση.png (23.62 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  15x = 4 \cdot 8 \hfill \\ 
  2(ABC) = (15 + x)8 = 17BE \hfill \\ 
  \tan \theta  = \frac{x}{8} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{{32}}{{15}} \hfill \\ 
  BE = \frac{{2056}}{{255}} \hfill \\ 
  \tan \theta  = \frac{4}{{15}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης