Τρίγωνο-111.

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1095
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τρίγωνο-111.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Δεκ 09, 2018 4:45 pm

1.png
1.png (8.27 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές

Οι πλευρές του τριγώνου ABC είναι AB=2, AC=3, BC=4.

Κύκλος με κέντρο το O, που βρίσκεται πάνω στη BC,

εφάπτεται των πλευρών AB, AC στα σημεία M, N αντίστοιχα.

Βρείτε την ακτίνα του κύκλου αυτού.



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1576
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίγωνο-111.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Δεκ 09, 2018 5:42 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 4:45 pm
1.png


Οι πλευρές του τριγώνου ABC είναι AB=2, AC=3, BC=4.

Κύκλος με κέντρο το O, που βρίσκεται πάνω στη BC,

εφάπτεται των πλευρών AB, AC στα σημεία M, N αντίστοιχα.

Βρείτε την ακτίνα του κύκλου αυτού.

Από Ήρωνα \displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{3}{4}\sqrt {15}  = \frac{{2R}}{2} + \frac{{3R}}{2} \Rightarrow \boxed{R = \frac{3}{{10}}\sqrt {15} }
T111.png
T111.png (9.51 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7977
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο-111.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 09, 2018 7:28 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 4:45 pm
1.png


Οι πλευρές του τριγώνου ABC είναι AB=2, AC=3, BC=4.

Κύκλος με κέντρο το O, που βρίσκεται πάνω στη BC,

εφάπτεται των πλευρών AB, AC στα σημεία M, N αντίστοιχα.

Βρείτε την ακτίνα του κύκλου αυτού.
Εκτός φακέλου.
Τρίγωνο 111.png
Τρίγωνο 111.png (12.66 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές
Με θεώρημα διχοτόμου βρίσκω \displaystyle BO = \frac{8}{5} και με νόμο συνημιτόνων \displaystyle \cos B = \frac{{11}}{{16}} \Rightarrow \sin B = \sqrt {1 - \frac{{121}}{{256}}}  = \frac{{3\sqrt {15} }}{{16}}

\displaystyle \sin B = \frac{R}{{BO}} \Leftrightarrow \boxed{R = \frac{{3\sqrt {15} }}{{10}}}


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 325
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Τρίγωνο-111.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Κυρ Δεκ 09, 2018 10:05 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Δεκ 09, 2018 4:45 pm
1.png


Οι πλευρές του τριγώνου ABC είναι AB=2, AC=3, BC=4.

Κύκλος με κέντρο το O, που βρίσκεται πάνω στη BC,

εφάπτεται των πλευρών AB, AC στα σημεία M, N αντίστοιχα.

Βρείτε την ακτίνα του κύκλου αυτού.
Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια, η οποία νομίζω ότι είναι πιο κοντά στο πνεύμα του Γυμνασίου...
Τρίγωνο 111..png
Τρίγωνο 111..png (76.65 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές
Έστω BD=x , OM=ON=R
Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ABD έχουμε :AD^2+BD^2=AB^2 \Leftrightarrow AD^2=4-x^2  .(1)
Επίσης από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ACD έχουμε :AD^2+CD^2=AC^2 \Leftrightarrow AD^2+ (4-x)^2 = 9 . (2)
Από τις (1) και (2) προκύπτει x=\dfrac{11}{8} .
Από, ένα ακόμα, Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ACD έχουμε : AD=\dfrac{3}{8}\cdot \sqrt{15} .
Τώρα το εμβαδόν του (ABC)=\dfrac{1}{2} AD\cdot BC=\dfrac{3\sqrt{15}}{4} .
Επιπλέον το εμβαδόν του (ABC)= (ABO)+(ACO)=\dfrac{1}{2}R\cdot2+\dfrac{1}{2}R\cdot3=  \dfrac{5R}{2} .
Από τις δύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει :R=\dfrac{3\sqrt{15}}{10} .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης