Έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10233
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Νοέμ 24, 2018 12:28 pm

έγκεντρο  ορθογωνίου τριγώνου.png
έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου.png (16.2 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Το σημείο E είναι το έγκεντρο του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC . Ο κύκλος (E,EA)

τέμνει την υποτείνουσα BC στο N (πλησίον του C ) και την πλευρά AB στο M .

α) Δείξτε ότι NM \parallel CE ... β) Βρείτε την \tan\hat{B} αν το M είναι το μέσο της AB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7464
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 24, 2018 1:50 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 24, 2018 12:28 pm
έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου.pngΤο σημείο E είναι το έγκεντρο του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC . Ο κύκλος (E,EA)

τέμνει την υποτείνουσα BC στο N (πλησίον του C ) και την πλευρά AB στο M .

α) Δείξτε ότι NM \parallel CE ... β) Βρείτε την \tan\hat{B} αν το M είναι το μέσο της AB .
Έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου.png
Έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου.png (18.75 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
α) Τα αμβλυγώνια τρίγωνα CPE, CNE είναι ίσα, άρα \displaystyle C\widehat EP = \varphi . Αλλά, \displaystyle P\widehat EN = 2\omega   \Leftrightarrow \varphi  = \omega  \Leftrightarrow \boxed{NM \parallel CE}

β) \displaystyle CN = CP \Rightarrow NT = PA = AM = MB = BT = \frac{c}{2} και αν CP=CN=x, τότε \displaystyle b = \frac{c}{2} + x,a = c + x

και με Πυθαγόρειο, \displaystyle {(c + x)^2} = {\left( {\frac{c}{2} + x} \right)^2} + {c^2} \Leftrightarrow x = \frac{c}{4}. Άρα, \displaystyle \tan B = \frac{b}{c} = \frac{{\frac{c}{2} + \frac{c}{4}}}{c} \Leftrightarrow \boxed{\tan B = \frac{3}{4}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1522
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Νοέμ 24, 2018 11:04 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Νοέμ 24, 2018 12:28 pm
έγκεντρο ορθογωνίου τριγώνου.pngΤο σημείο E είναι το έγκεντρο του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC . Ο κύκλος (E,EA)

τέμνει την υποτείνουσα BC στο N (πλησίον του C ) και την πλευρά AB στο M .

α) Δείξτε ότι NM \parallel CE ... β) Βρείτε την \tan\hat{B} αν το M είναι το μέσο της AB .

1.Είναι, \displaystyle EK = EL \Rightarrow HA = NP \Rightarrow HNPA ισοσκελές τραπέζιο ,άρα \displaystyle CE \bot AP \Rightarrow CE \bot HN

Αλλά , \displaystyle HEM διάμετρος\displaystyle  \Rightarrow MN \bot HN.Άρα, \displaystyle NM//CE

2.Το \displaystyle ESM είναι ισοσκελές ορθογώνιο και με \displaystyle M μέσο της \displaystyle AB είναι \displaystyle BS = 3SM = 3ES \Rightarrow \tan x = \frac{{ES}}{{BS}} = \frac{1}{3}

Τέλος ,από την \displaystyle \tan B = \tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}} παίρνουμε \displaystyle \boxed{\tan B = \frac{3}{4}}
e.o.t.png
e.o.t.png (185.54 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης