Σελίδα 1 από 1
Καθετότητα για όλα τα γούστα
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 21, 2018 9:47 pm
από Doloros
- Καθετότητα_ κι αυτή.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 1182 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο
θεωρώ το
μέσο του
και το
μέσο του
.
Η κάθετη από το
στην υποτείνουσα
τέμνει την ευθεία
στο σημείο
.
Δείξετε ότι
.
Δεκτές λύσεις ανεξαρτήτως φακέλου
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 21, 2018 10:34 pm
από Mihalis_Lambrou
Υπάρχουν λύσεις με συνθετική Γεωμετρία αλλά γράφω μία με Αναλυτική γιατί το ζητούμενο είναι άμεσο: Με κέντρο αξόνων το
, και άξονα των
την
. Είναι
. H
έχει κλίση
, άρα η κάθετή της
είναι η
οπότε το
είναι το
. Έτσι η
έχει κλίση
και η
έχει
από όπου η ζητούμενη καθετότητα.
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 21, 2018 10:59 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Doloros έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 21, 2018 9:47 pm
Καθετότητα_ κι αυτή.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο
θεωρώ το
μέσο του
και το
μέσο του
.Η κάθετη από το
στην υποτείνουσα
τέμνει την ευθεία
στο σημείο
.Δείξετε ότι
.
Δεκτές λύσεις ανεξαρτήτως φακέλου
- Καθετότητα για όλα τα γούστα.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 1154 φορές
Έστω οι ορθές προβολές των στην αντίστοιχα. Έχουμε:
Από τη σχέση (1) σύμφωνα με το Stathis Koutras’ Theorem θα είναι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 21, 2018 11:21 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Doloros έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 21, 2018 9:47 pm
Καθετότητα_ κι αυτή.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο
θεωρώ το
μέσο του
και το
μέσο του
.
Η κάθετη από το
στην υποτείνουσα
τέμνει την ευθεία
στο σημείο
.
Δείξετε ότι
.
Δεκτές λύσεις ανεξαρτήτως φακέλου
Με
το σημείο τομής της εκ του
καθέτου στην
με την
προκύπτει (από τα μέσα) ότι
το μέσο της
οπότε
και προφανώς
το ορθόκεντρο του τριγώνου
οπότε
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 21, 2018 11:27 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Doloros έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 21, 2018 9:47 pm
Καθετότητα_ κι αυτή.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο
θεωρώ το
μέσο του
και το
μέσο του
.
Η κάθετη από το
στην υποτείνουσα
τέμνει την ευθεία
στο σημείο
.
Δείξετε ότι
.
Δεκτές λύσεις ανεξαρτήτως φακέλου
Με
το σημείο τομής της εκ του
καθέτου στην
με την
το μέσο της
. Τα ορθογώνια τρίγωνα
και
είναι προφανώς όμοια οπότε για τις ομόλογες διαμέσους τους
θα ισχύει :
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 22, 2018 12:04 am
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Doloros έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 21, 2018 9:47 pm
Καθετότητα_ κι αυτή.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο
θεωρώ το
μέσο του
και το
μέσο του
.
Η κάθετη από το
στην υποτείνουσα
τέμνει την ευθεία
στο σημείο
.
Δείξετε ότι
.
Δεκτές λύσεις ανεξαρτήτως φακέλου
Με
- καθετότητα για όλα τα γούστα.png (14.66 KiB) Προβλήθηκε 1120 φορές
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 22, 2018 12:25 am
από Al.Koutsouridis
Doloros έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 21, 2018 9:47 pm
Καθετότητα_ κι αυτή.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο
θεωρώ το
μέσο του
και το
μέσο του
.
Η κάθετη από το
στην υποτείνουσα
τέμνει την ευθεία
στο σημείο
.
Δείξετε ότι
.
Δεκτές λύσεις ανεξαρτήτως φακέλου
- kathetothta_gia_ola_ta_gousta.png (10.62 KiB) Προβλήθηκε 1108 φορές
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο
, όπου
το ίχνος της καθέτου από το
στην
, έχουμε διαδοχικά
(1)
Επίσης έχουμε
λόγω της (1).
Άρα η ευθεία
είναι εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
. Από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης έχουμε
.
Επομένως το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο και αφού
, θα είναι και
.
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:44 am
από george visvikis
Doloros έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 21, 2018 9:47 pm
Καθετότητα_ κι αυτή.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο
θεωρώ το
μέσο του
και το
μέσο του
.
Η κάθετη από το
στην υποτείνουσα
τέμνει την ευθεία
στο σημείο
.
Δείξετε ότι
.
Δεκτές λύσεις ανεξαρτήτως φακέλου
- Για όλα τα γούστα.png (12.3 KiB) Προβλήθηκε 1069 φορές
Θ. διαμέσων στο
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 22, 2018 1:45 pm
από Γιώργος Ρίζος
Καλημέρα σε όλους. Μια γεωμετρική προσπάθεια,
δίχως καμία βοηθητική.
- 22-11-2018 Γεωμετρία.jpg (68.32 KiB) Προβλήθηκε 1029 φορές
Έστω
το σημείο τομής
.
Από την ομοιότητα
είναι
Από την ομοιότητα
είναι
, αφού είναι
.
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και απλοποιούμε, οπότε έχουμε
και η καθετότητα των
προκύπτει άμεσα.
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 22, 2018 2:38 pm
από KARKAR
- gusto 7.png (14.97 KiB) Προβλήθηκε 1024 φορές
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 22, 2018 4:16 pm
από Μιχάλης Νάννος
Doloros έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 21, 2018 9:47 pm
Στο ορθογώνιο τρίγωνο
θεωρώ το
μέσο του
και το
μέσο του
.
Η κάθετη από το
στην υποτείνουσα
τέμνει την ευθεία
στο σημείο
.
Δείξετε ότι
.
Δεκτές λύσεις ανεξαρτήτως φακέλου
Μετά τις θαυμάσιες λύσεις άλλη μια για να ευχηθώ «Βίον ανθόσπαρτο και καλούς απογόνους» στη μεγάλη κόρη του φίλου Νίκου Φραγκάκη.
- shape.jpg (74.36 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές
Με
και
σχηματίζονται:
Το παραλληλόγραμμο
, το ισοσκελές
, το εγγράψιμο
Από την ισότητα των "πράσινων" γωνιών σχηματίζεται το εγγράψιμο
και το ζητούμενο έπεται!
Re: Καθετότητα για όλα τα γούστα
Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 23, 2018 1:06 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλημέρα. Με τις καλύτερες ευχές για την ευρύτερη οικογένεια του
Νίκου Φραγκάκη !
Ελαφρώς διαφορετική , με ύλη Γυμνασίου. Αν θεωρήσουμε (μονάδα μέτρησης)
ενώ
, με βοηθό και το σχήμα
- Γούστο..για όλους N.F.PNG (8.74 KiB) Προβλήθηκε 967 φορές
τότε
. Από τα
όμοια προκύπτει
και
.
Με το
Πυθαγόρειο παίρνουμε
και
Έτσι έχουμε
άρα
.
Φιλικά , Γιώργος.