Τρίτος κύκλος

Συντονιστές: silouan, george visvikis, Doloros

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10395
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τρίτος κύκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 19, 2018 8:14 pm

Τρίτος  κύκλος.png
Τρίτος κύκλος.png (13.82 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές
Ότι βλέπετε είναι αυτό που φαντάζεστε . Υπολογίστε την ακτίνα R .

Κάντε το ίδιο αν δίνεται ότι : OA=r και KB=\rho , (r<\rho) .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10951
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίτος κύκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 19, 2018 9:42 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 19, 2018 8:14 pm
Τρίτος κύκλος.png Ότι βλέπετε είναι αυτό που φαντάζεστε . Υπολογίστε την ακτίνα R .

Κάντε το ίδιο αν δίνεται ότι : OA=r και KB=\rho , (r<\rho) .
Αν η κοινή διάμετρος τέμνει την κοινή εφαπτομένη στο P, από ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων POA, PKB, PQC έχουμε \displaystyle{\frac {x}{1}= \frac {x+3}{2}= \frac {x+3+2+R}{R}}. Λύνοντας είναι x=3, R=4. Όμοια το γενικό ( x= r(r+\rho)/(\rho -r) κ.λπ.)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7698
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίτος κύκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 20, 2018 9:15 am

Να συμπληρώσω σ' αυτά που γράφει ο Μιχάλης, ότι αν συνεχίσουμε τις πράξεις θα δούμε

πως οι r, \rho, R είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Άρα: \boxed{R = \frac{{{\rho ^2}}}{r}}

Γενικά: Αν καθένας από του κύκλους (C_1), (C_2), (C_3),... εφάπτεται των πλευρών μιας γωνίας x\widehat Oy και εξωτερικά

στον προηγούμενο και στον επόμενο κύκλο, τότε οι ακτίνες r_1, r_2, r_3,... ορίζουν γεωμετρική πρόοδο.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7698
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίτος κύκλος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 20, 2018 12:22 pm

Αλλιώς.
Τρίτος κύκλος.png
Τρίτος κύκλος.png (32.69 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές
Από την ομοιότητα των τριγώνων POK, SKQ: \displaystyle \frac{{\rho  + r}}{{\rho  - r}} = \frac{{R + \rho }}{{R - \rho }} \Leftrightarrow \boxed{{\rho ^2} = Rr}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 950
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τρίτος κύκλος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Νοέμ 21, 2018 3:44 am

Καλημέρα σε όλους. Σχετικό με το παρόν και το θέμα ΤΟΥΤΟ
Θεωρώ ενδιαφέρον να βρούμε μία σχέση που συνδέει τα 4 εμβαδά των έγχρωμων χαρταετών του σχήματος :
Τρίτος κύκλος.PNG
Τρίτος κύκλος.PNG (8.72 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
Είναι SH, FI \perp OQ.. Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7698
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίτος κύκλος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 21, 2018 9:29 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τετ Νοέμ 21, 2018 3:44 am
Καλημέρα σε όλους. Σχετικό με το παρόν και το θέμα ΤΟΥΤΟ
Θεωρώ ενδιαφέρον να βρούμε μία σχέση που συνδέει τα 4 εμβαδά των έγχρωμων χαρταετών του σχήματος :
Τρίτος κύκλος.PNG
Είναι SH, FI \perp OQ.. Φιλικά Γιώργος.
Καλημέρα σε όλους!
Τρίτος κύκλος.β.png
Τρίτος κύκλος.β.png (23.33 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές
Τα 4 εμβαδά των έγχρωμων χαρταετών σχηματίζουν επίσης γεωμετρική πρόοδο και οι τιμές τους είναι \sqrt 2, 2\sqrt 2, 4\sqrt 2, 8\sqrt 2.

Η απόδειξη στηρίζεται στο γεγονός ότι το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα δύο κύκλων ακτίνων r, R που εφάπτονται

εξωτερικά είναι 2\sqrt{Rr}, οπότε το εμβαδόν του χαρταετού είναι r\sqrt{Rr}. Στη γενική περίπτωση που οι ακτίνες είναι \displaystyle r,\lambda r,{\lambda ^2}r,...,

τα εμβαδά των χαρταετών είναι, \displaystyle {r^2}\sqrt \lambda  ,\lambda {r^2}\sqrt \lambda  ,{\lambda ^2}{r^2}\sqrt \lambda  ,{\lambda ^3}{r^2}\sqrt \lambda  ,...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης