Συνευθειακά από Θαλή

Συντονιστές: silouan, george visvikis, Doloros

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10534
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Συνευθειακά από Θαλή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 13, 2018 7:48 am

Συνευθειακά.png
Συνευθειακά.png (13.29 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές
Το \displaystyle ABC είναι ισοσκελές , το BCD ισόπλευρο , το ACEZ τετράγωνο και M το μέσο

της AD . Υπολογίστε τις γωνίες του ισοσκελούς , ώστε τα B,M,Z να είναι συνευθειακά .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11034
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνευθειακά από Θαλή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 13, 2018 9:22 am

Υπάρχουν πολλοί τρόποι αντιμετώπισης, αλλά ας κάνω έναν με Αναλυτική.

Με κέντρο το μέσον O του BC και συντεταγμένες C(b,0), \, \,  B(-b,0), \, A(0,a). Εύκολα βλέπουμε ότι Z(a,a+b) και άρα η ευθεία BZ είναι η y=x+b. Αυτή τέμνει τον άξονα των y στο (0,b) και άρα η συνθήκη να είναι το M να είναι το μέσον του AD, δηλαδή AM=MD=MO+OD, γίνεται

a-b = b +b\sqrt 3.

Άρα \tan  B= \dfrac {AO}{BO}= \dfrac {a}{b}= 2+\sqrt 3, οπότε \angle B= 75^o.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2613
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Συνευθειακά από Θαλή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Δευ Νοέμ 19, 2018 11:50 pm

Καλησπέρα σας!

Ακολουθεί μια καθαρά γεωμετρική λύση:

Ας υποθέσουμε ότι τα σημεία B,M και Z είναι συνευθειακά. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα AMB και AMC είναι ίσα, ενώ το τρίγωνο BAZ είναι ισοσκελές με BA=AZ. Θέτουμε, λοιπόν, \theta:=A\widehat{C}M=A\widehat{B}M=A\widehat{Z}M και \varphi:=B\widehat{A}M=M\widehat{A}C.

Από το άθροισμα γωνιών στο τρίγωνο BAZ, κι αφού C\widehat{A}Z=90^\circ παίρνουμε \theta+\varphi=45^\circ. Έτσι, το ισοσκελές τρίγωνο BMC θα έχει B\widehat{M}C=90^\circ και M\widehat{B}C=M\widehat{C}B=45^\circ.

Θεωρούμε το συμμετρικό σημείο K του B ως προς το M. Τότε το τρίγωνο KCB είναι ισοσκελές ( αφού τα ορθογώνια τρίγωνα BMC και KMC είναι ίσα) με KC=BC, και ορθογώνιο με K\widehat{C}B=90^\circ.

Έτσι, η KC είναι παράλληλη στην AD (αφού KC\perp BC και AD\perp BC) και η KD είναι παράλληλη στην AB, (αφού οι διαγώνιοι του ABDK διχοτομούνται, κι άρα είναι παραλληλόγραμμο). Συνεπώς, κι αφού KCD είναι ισοσκελές (KC=CD), έχουμε

K\widehat{D}C=C\widehat{K}D=K\widehat{D}A=D\widehat{A}B=\varphi.

Άρα A\widehat{D}C=2\varphi=\widehat{A}. Αλλά, A\widehat{D}C=30^\circ κι έτσι \widehat{A}=30^\circ, και A\widehat{B}C=A\widehat{C}B=75^\circ.

Σχόλιο: Έπεται άμεσα ότι τα σημεία D, C και Z είναι επίσης συνευθειακά.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
thalis_karkar.png
thalis_karkar.png (37.43 KiB) Προβλήθηκε 270 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1571
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συνευθειακά από Θαλή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Νοέμ 20, 2018 1:15 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 13, 2018 7:48 am
Συνευθειακά.pngΤο \displaystyle ABC είναι ισοσκελές , το BCD ισόπλευρο , το ACEZ τετράγωνο και M το μέσο

της AD . Υπολογίστε τις γωνίες του ισοσκελούς , ώστε τα B,M,Z να είναι συνευθειακά .

Λόγω ισότητας των κόκκινων γωνιών,ο περίκυκλος του \displaystyle AZEC περνά από το \displaystyle M

και \displaystyle EM είναι μεσοκάθετος της \displaystyle AD. Άρα \displaystyle AE = ED = b\sqrt 2 .

Ακόμη, \displaystyle \angle AMZ = {45^0} οπότε \displaystyle \vartriangle BMC ορθογώνιο ισοσκελές άρα \displaystyle BM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

Στο \displaystyle \vartriangle ABD με θ.διαμέσου εύκολα έχουμε \displaystyle x = \frac{{b\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AD = 2x = b\sqrt 2 και \displaystyle \vartriangle ADE ισόπλευρο

Έτσι , \displaystyle \angle DAC = {15^0} \Rightarrow \boxed{\angle A = {{30}^0},\angle B = C = {{75}^0}}
Συνευθειακά.png
Συνευθειακά.png (25.01 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης