Συνευθειακά από Θαλή

KARKAR · #1

: Συνευθειακά.png (13.29 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές

Το $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές , το BCD

ισόπλευρο , το ACEZ

τετράγωνο και

το μέσο

της

. Υπολογίστε τις γωνίες του ισοσκελούς , ώστε τα B,M,Z

να είναι συνευθειακά .

#2

Υπάρχουν πολλοί τρόποι αντιμετώπισης, αλλά ας κάνω έναν με Αναλυτική.

Με κέντρο το μέσον

του

και συντεταγμένες $C(b,0), \, \, B(-b,0), \, A(0,a)$ . Εύκολα βλέπουμε ότι Z(a,a+b)

και άρα η ευθεία

είναι η

. Αυτή τέμνει τον άξονα των

στο

και άρα η συνθήκη να είναι το

να είναι το μέσον του

, δηλαδή

, γίνεται

$a-b = b +b\sqrt 3$ .

Άρα $\tan B= \dfrac {AO}{BO}= \dfrac {a}{b}= 2+\sqrt 3$ , οπότε $\angle B= 75^o$ .

#3

Καλησπέρα σας!

Ακολουθεί μια καθαρά γεωμετρική λύση:

Ας υποθέσουμε ότι τα σημεία B,M

και

είναι συνευθειακά. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα AMB

και

είναι ίσα, ενώ το τρίγωνο BAZ

είναι ισοσκελές με BA=AZ

. Θέτουμε, λοιπόν, $\theta:=A\widehat{C}M=A\widehat{B}M=A\widehat{Z}M$ και $\varphi:=B\widehat{A}M=M\widehat{A}C$ .

Από το άθροισμα γωνιών στο τρίγωνο BAZ

, κι αφού $C\widehat{A}Z=90^\circ$ παίρνουμε $\theta+\varphi=45^\circ.$ Έτσι, το ισοσκελές τρίγωνο BMC

θα έχει $B\widehat{M}C=90^\circ$ και $M\widehat{B}C=M\widehat{C}B=45^\circ$ .

Θεωρούμε το συμμετρικό σημείο

του

ως προς το

. Τότε το τρίγωνο KCB

είναι ισοσκελές ( αφού τα ορθογώνια τρίγωνα BMC

και

είναι ίσα) με KC=BC

, και ορθογώνιο με $K\widehat{C}B=90^\circ.$

Έτσι, η

είναι παράλληλη στην

(αφού $KC\perp BC$ και $AD\perp BC$ ) και η

είναι παράλληλη στην

, (αφού οι διαγώνιοι του ABDK

διχοτομούνται, κι άρα είναι παραλληλόγραμμο). Συνεπώς, κι αφού KCD

είναι ισοσκελές ( KC=CD

), έχουμε

$K\widehat{D}C=C\widehat{K}D=K\widehat{D}A=D\widehat{A}B=\varphi$ .

Άρα $A\widehat{D}C=2\varphi=\widehat{A}$ . Αλλά, $A\widehat{D}C=30^\circ$ κι έτσι $\widehat{A}=30^\circ$ , και $A\widehat{B}C=A\widehat{C}B=75^\circ.$

Σχόλιο: Έπεται άμεσα ότι τα σημεία D, C

και

είναι επίσης συνευθειακά.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 13, 2018 7:48 am
Συνευθειακά.pngΤο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές , το ισόπλευρο , το τετράγωνο και το μέσο

της . Υπολογίστε τις γωνίες του ισοσκελούς , ώστε τα να είναι συνευθειακά .

Λόγω ισότητας των κόκκινων γωνιών,ο περίκυκλος του $\displaystyle AZEC$ περνά από το $\displaystyle M$

και $\displaystyle EM$ είναι μεσοκάθετος της $\displaystyle AD$ . Άρα $\displaystyle AE = ED = b\sqrt 2$ .

Ακόμη, $\displaystyle \angle AMZ = {45^0}$ οπότε $\displaystyle \vartriangle BMC$ ορθογώνιο ισοσκελές άρα $\displaystyle BM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Στο $\displaystyle \vartriangle ABD$ με θ.διαμέσου εύκολα έχουμε $\displaystyle x = \frac{{b\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AD = 2x = b\sqrt 2$ και $\displaystyle \vartriangle ADE$ ισόπλευρο

Έτσι , $\displaystyle \angle DAC = {15^0} \Rightarrow \boxed{\angle A = {{30}^0},\angle B = C = {{75}^0}}$

: Συνευθειακά.png (25.01 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές

Συνευθειακά από Θαλή

Συνευθειακά από Θαλή

Re: Συνευθειακά από Θαλή

Re: Συνευθειακά από Θαλή

Re: Συνευθειακά από Θαλή

Μέλη σε σύνδεση