Ακτινοβολία

KARKAR · #1

: Ακτινοβολία.png (7.69 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές

Τα τμήματα SA ,SB

εφάπτονται στον κύκλο και $AP\parallel SB$ .

Αν AP=4

και

, υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 27, 2018 8:54 pm
Ακτινοβολία.pngΤα τμήματα εφάπτονται στον κύκλο και $AP\parallel SB$ .

Αν και , υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου .

: Ακτινοβολία.png (17.35 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Από παραλληλία και από τη σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής - εφαπτομένης, οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, οπότε τα τρίγωνα

SAB, BAP

είναι όμοια και $\displaystyle \frac{4}{{AB}} = \frac{{AB}}{9} \Leftrightarrow AB = 6.$ Με Π. Θ τώρα $SK=6\sqrt 2}$ και $\displaystyle 81 = SK \cdot SO \Leftrightarrow SO = \frac{{27\sqrt 2 }}{4}$

Αλλά, $\displaystyle 81 = S{O^2} - {R^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{R = \frac{{9\sqrt 2 }}{4}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 27, 2018 8:54 pm
Τα τμήματα εφάπτονται στον κύκλο και $AP\parallel SB$ .

Αν και , υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου .

Και μια άλλη ιδέα με τριγωνομετρία.

Εργαζόμαστε στο σχήμα:

: Ακτινοβολία 1.png (17.8 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές

Από την παραλληλία των τμημάτων $\displaystyle{AP}$ και $\displaystyle{SB}$ προκύπτει ότι η προέκτασης της $\displaystyle{OB}$
τέμνει κάθετα τη χορδή $\displaystyle{AP}$ .
Έτσι από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{OAK}$ θα είναι:

$\displaystyle{2=Rsin(2\omega)\ \ \Rightarrow sin(2\omega)=\frac{2}{R} \ \ (1) }$

Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{OAS}$ θα είναι:

$\displaystyle{tan\omega=\frac{R}{9} \ \ (2)}$

Από τις (1) και (2) και εφαρμόζοντας τον τύπο:

$\displaystyle{sin(2\omega)=\frac{2tan\omega}{1+tan^2\omega} \ \ (3)}$

προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{2}{R}=\frac{2\cdot \frac{R}{9}}{1+(\frac{R}{9})^2} \ \ (4)}$

Λύνοντας τη εξίσωση (4) βρίσκουμε:

$\displaystyle{ R=\frac{9\sqrt{2}}{4} }$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα ! Με αφετηρία τη λύση του Κώστα και χρήση του σχήματος :

: Ακτινοβολία.PNG (9.63 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Το

είναι ορθογώνιο με $AH=\sqrt{32}$ άρα $x=\sqrt{32}-R$ , ενώ στο ορθ. τρίγωνο OKA

είναι $x^{2}= R^{2}-4$ .

Προκύπτει $\left ( \sqrt{32}-R \right )^{2}=R^{2}-4 \Leftrightarrow R=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$ .
Φιλικά , Γιώργος.

Ακτινοβολία

Ακτινοβολία

Re: Ακτινοβολία

Re: Ακτινοβολία

Re: Ακτινοβολία

Μέλη σε σύνδεση