Δικυκλική αναφορά

KARKAR · #1

: Δικυκλική αναφορά.png (14.78 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές

Ο μικρός κύκλος (K,r)

διέρχεται από το κέντρο του μεγαλύτερου (O,R)

και τον τέμνει

στα σημεία A,B

. Η εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο

τέμνει τον μεγάλο στο

,

ενώ η

τέμνει τον μικρό στο

. Δείξτε ότι : α) CB=AB

... β) $SO\perp CB$ .

γ) Αν R=6

και

, υπολογίστε το μήκος του τμήματος

.

Κω.Κωνσταντινίδης · #2

Θα αναρτήσω μια λύση για το α ερώτημα. Αν δεν με προλάβουν, αύριο θα αναρτήσω και τα υπόλοιπα. Ας αρχίσω:
Φέρνουμε τις CO,OA,OB

. Επειδή το Ο είναι το κέντρο του περιγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

, θα απέχει ίσες αποστάσεις από τις κορυφές του. Άρα OB=OC=OA

(1). Έστω $\angle OAB=\angle OBA=\varphi$ (από την (1) το τρίγωνο OBA είναι ισοσκελές). Κατα συνέπεια θα είναι $\angle AOB=180-2\varphi$ . Όμοια έσστω $\angle CAO=\angle ACO=\omega$ , άρα $\angle AOC=180-2\omega$ . Εν τέλει θα είναι $\angle COB=2\omega +2\varphi$ . Συνεπώς $\angle OCB=\angle OBC=\frac{180-\angle COB}{2}=90-\omega -\varphi$ . Προφανώς έχουμε $\angle ABO=90-\omega$ και $\angle ABO+\angle ABx=180\Rightarrow \angle ABx=90+\omega$ (εφεξής παραπληρωματικές).

Επειδή η

είναι εφαπτόμενη στον κύκλο (K,r)

, θα είναι $\angle ABx=\angle BOA\Rightarrow 90=\omega +2\varphi$ . Με πράξεις προκύπτει $\angle COB=\angle BOA$ (2). Λόγω της (1) και (2)) τα τρίγωνα (από κριτήριο πλευρά,γωνία,πλευρά) $\Delta COB,\Delta BOA$ είναι ίσα. Άρα CB=AB

.

Υ.Γ. Η x είναι η προέκταση της CB προς το B.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 25, 2018 2:06 pm
Δικυκλική αναφορά.pngΟ μικρός κύκλος διέρχεται από το κέντρο του μεγαλύτερου και τον τέμνει

στα σημεία . Η εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο τέμνει τον μεγάλο στο ,

ενώ η τέμνει τον μικρό στο . Δείξτε ότι : α) ... β) $SO\perp CB$ .

γ) Αν και , υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

: Δικυκλική αναφορά.png (23.41 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

α) $\displaystyle A\widehat CB = K\widehat OB = O\widehat BK = 90^\circ - O\widehat BC \Rightarrow BO \bot AC$ και το ζητούμενο έπεται.

β) Απ' το εγγεγραμμένο ABOS,

$\displaystyle S\widehat AB = S\widehat OH = E\widehat OB = 90^\circ - O\widehat BE \Rightarrow SO \bot CB$

γ) Με νόμο συνημιτόνων στο OKB

βρίσκω $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \sin \theta = \frac{4}{5}$ και όλα τα ορθογώνια τρίγωνα του σχήματος είναι

της μορφής 3-4-5,

οπότε $\displaystyle OE = \frac{{3R}}{5},EB = \frac{{4R}}{5}.$

$\displaystyle EO \cdot ES = E{B^2} \Leftrightarrow EO(EO + OS) = E{B^2} \Leftrightarrow \frac{{3R}}{5}\left( {\frac{{3R}}{5} + OS} \right) = \frac{{16{R^2}}}{{25}} \Leftrightarrow$ $\boxed{OS = \frac{{7R}}{15} = \frac{{14}}{5}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 25, 2018 2:06 pm
Δικυκλική αναφορά.pngΟ μικρός κύκλος διέρχεται από το κέντρο του μεγαλύτερου και τον τέμνει

στα σημεία . Η εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο τέμνει τον μεγάλο στο ,

ενώ η τέμνει τον μικρό στο . Δείξτε ότι : α) ... β) $SO\perp CB$ .

γ) Αν και , υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

Από την προφανή ισότητα των πράσινων και κόκκινων γωνιών προκύπτει ότι $\displaystyle SC = SB$

κι επειδή $\displaystyle OC = OB$ η $\displaystyle SO$ είναι μεσοκάθετος της $\displaystyle CB$ και $\displaystyle AB = CB$

Ακόμη, $\displaystyle GS \bot SO$ άρα $\displaystyle SG//CB$ επομένως $\displaystyle \angle SCB = \angle ASG = \angle SAB \Rightarrow SAGB$

ισοσκελές τραπέζιο άρα $\displaystyle SG = AB$

Με Π.Θ στο $\displaystyle \vartriangle OAG \Rightarrow AG = 8$ άρα $\displaystyle \left( {OAG} \right) = 24 = 5 \cdot AF \Rightarrow AF = \frac{{24}}{5} \Rightarrow \boxed{AB = \frac{{48}}{5}}$

Τώρα,με Π.Θ στο $\displaystyle \vartriangle OSG \Rightarrow \boxed{OS = \frac{{14}}{5}}$

: δικυκλική αναφορά.png (57.37 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

Δικυκλική αναφορά

Δικυκλική αναφορά

Re: Δικυκλική αναφορά

Re: Δικυκλική αναφορά

Re: Δικυκλική αναφορά

Μέλη σε σύνδεση