Δικυκλική αναφορά

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11906
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δικυκλική αναφορά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 25, 2018 2:06 pm

Δικυκλική  αναφορά.png
Δικυκλική αναφορά.png (14.78 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές
Ο μικρός κύκλος (K,r) διέρχεται από το κέντρο του μεγαλύτερου (O,R) και τον τέμνει

στα σημεία A,B . Η εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο B τέμνει τον μεγάλο στο C ,

ενώ η AC τέμνει τον μικρό στο S . Δείξτε ότι : α) CB=AB ... β) SO\perp CB .

γ) Αν R=6 και r=5 , υπολογίστε το μήκος του τμήματος OS .



Λέξεις Κλειδιά:
Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Δικυκλική αναφορά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Πέμ Οκτ 25, 2018 11:59 pm

Θα αναρτήσω μια λύση για το α ερώτημα. Αν δεν με προλάβουν, αύριο θα αναρτήσω και τα υπόλοιπα. Ας αρχίσω:
Φέρνουμε τις CO,OA,OB. Επειδή το Ο είναι το κέντρο του περιγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC, θα απέχει ίσες αποστάσεις από τις κορυφές του. Άρα OB=OC=OA (1). Έστω \angle OAB=\angle OBA=\varphi (από την (1) το τρίγωνο OBA είναι ισοσκελές). Κατα συνέπεια θα είναι \angle AOB=180-2\varphi. Όμοια έσστω \angle CAO=\angle ACO=\omega, άρα \angle AOC=180-2\omega. Εν τέλει θα είναι \angle COB=2\omega +2\varphi. Συνεπώς \angle OCB=\angle OBC=\frac{180-\angle COB}{2}=90-\omega -\varphi. Προφανώς έχουμε \angle ABO=90-\omega και \angle ABO+\angle ABx=180\Rightarrow \angle ABx=90+\omega(εφεξής παραπληρωματικές).

Επειδή η CB είναι εφαπτόμενη στον κύκλο (K,r), θα είναι \angle ABx=\angle BOA\Rightarrow 90=\omega +2\varphi. Με πράξεις προκύπτει \angle COB=\angle BOA(2). Λόγω της (1) και (2)) τα τρίγωνα (από κριτήριο πλευρά,γωνία,πλευρά) \Delta COB,\Delta BOA είναι ίσα. Άρα CB=AB.

Υ.Γ. Η x είναι η προέκταση της CB προς το B.


Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9812
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δικυκλική αναφορά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 26, 2018 10:43 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 25, 2018 2:06 pm
Δικυκλική αναφορά.pngΟ μικρός κύκλος (K,r) διέρχεται από το κέντρο του μεγαλύτερου (O,R) και τον τέμνει

στα σημεία A,B . Η εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο B τέμνει τον μεγάλο στο C ,

ενώ η AC τέμνει τον μικρό στο S . Δείξτε ότι : α) CB=AB ... β) SO\perp CB .

γ) Αν R=6 και r=5 , υπολογίστε το μήκος του τμήματος OS .
Δικυκλική αναφορά.png
Δικυκλική αναφορά.png (23.41 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές
α) \displaystyle A\widehat CB = K\widehat OB = O\widehat BK = 90^\circ  - O\widehat BC \Rightarrow BO \bot AC και το ζητούμενο έπεται.

β) Απ' το εγγεγραμμένο ABOS, \displaystyle S\widehat AB = S\widehat OH = E\widehat OB = 90^\circ  - O\widehat BE \Rightarrow SO \bot CB

γ) Με νόμο συνημιτόνων στο OKB βρίσκω \displaystyle \cos \theta  = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \sin \theta  = \frac{4}{5} και όλα τα ορθογώνια τρίγωνα του σχήματος είναι

της μορφής 3-4-5, οπότε \displaystyle OE = \frac{{3R}}{5},EB = \frac{{4R}}{5}.

\displaystyle EO \cdot ES = E{B^2} \Leftrightarrow EO(EO + OS) = E{B^2} \Leftrightarrow \frac{{3R}}{5}\left( {\frac{{3R}}{5} + OS} \right) = \frac{{16{R^2}}}{{25}} \Leftrightarrow \boxed{OS = \frac{{7R}}{15} = \frac{{14}}{5}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1911
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Δικυκλική αναφορά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Οκτ 26, 2018 6:54 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 25, 2018 2:06 pm
Δικυκλική αναφορά.pngΟ μικρός κύκλος (K,r) διέρχεται από το κέντρο του μεγαλύτερου (O,R) και τον τέμνει

στα σημεία A,B . Η εφαπτομένη του μικρού κύκλου στο B τέμνει τον μεγάλο στο C ,

ενώ η AC τέμνει τον μικρό στο S . Δείξτε ότι : α) CB=AB ... β) SO\perp CB .

γ) Αν R=6 και r=5 , υπολογίστε το μήκος του τμήματος OS .

Από την προφανή ισότητα των πράσινων και κόκκινων γωνιών προκύπτει ότι \displaystyle SC = SB

κι επειδή \displaystyle OC = OB η \displaystyle SO είναι μεσοκάθετος της \displaystyle CB και \displaystyle AB = CB

Ακόμη, \displaystyle GS \bot SO άρα \displaystyle SG//CB επομένως \displaystyle \angle SCB = \angle ASG = \angle SAB \Rightarrow SAGB

ισοσκελές τραπέζιο άρα \displaystyle SG = AB

Με Π.Θ στο \displaystyle \vartriangle OAG \Rightarrow AG = 8 άρα \displaystyle \left( {OAG} \right) = 24 = 5 \cdot AF \Rightarrow AF = \frac{{24}}{5} \Rightarrow \boxed{AB = \frac{{48}}{5}}

Τώρα,με Π.Θ στο \displaystyle \vartriangle OSG \Rightarrow \boxed{OS = \frac{{14}}{5}}
δικυκλική αναφορά.png
δικυκλική αναφορά.png (57.37 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης