Σκαληνό τραπέζιο

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11906
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σκαληνό τραπέζιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Οκτ 22, 2018 2:03 pm

Σκαληνό  τραπέζιο.png
Σκαληνό τραπέζιο.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
Ο μικρότερος κύκλος (K,r) έχει το κέντρο του πάνω στον μεγαλύτερο (O,R) .

Ένα από τα σημεία τομής τους είναι A , από το οποίο διέρχεται ευθεία παράλληλη

προς τη διάκεντρο , η οποία τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία S,P .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου OKPS . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{SA}{AP}

Εφαρμογή για : R=3 , r=2 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9811
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σκαληνό τραπέζιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 22, 2018 4:31 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 22, 2018 2:03 pm
Σκαληνό τραπέζιο.pngΟ μικρότερος κύκλος (K,r) έχει το κέντρο του πάνω στον μεγαλύτερο (O,R) .

Ένα από τα σημεία τομής τους είναι A , από το οποίο διέρχεται ευθεία παράλληλη

προς τη διάκεντρο , η οποία τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία S,P .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου OKPS . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{SA}{AP}

Εφαρμογή για : R=3 , r=2 .
Σκαληνό τραπέζιο.png
Σκαληνό τραπέζιο.png (15.63 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές
α) Είναι SP=2OK=2R, άρα AP=2R-SA και από κριτήριο καθετότητας:

\displaystyle B{S^2} - B{P^2} = S{A^2} - A{P^2} \Leftrightarrow 4{R^2} - 4{r^2} = 2R(SA - AP) = 2R(2SA - 2R) \Leftrightarrow \boxed{ SA = \frac{{2{R^2} - {r^2}}}{R}} (1)

Π. Θ στο ABS: \displaystyle A{B^2} = 4{R^2} - S{A^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} AB = \frac{r}{R}\sqrt {4{R^2} - {r^2}} και

\displaystyle (OKPS) = \frac{{OK + SP}}{4} \cdot AB \Leftrightarrow \boxed{(OKPS) = \frac{{3r}}{4}\sqrt {4{R^2} - {r^2}}}

β) \displaystyle \frac{{SA}}{{AP}} = \frac{{\frac{{2{R^2} - {r^2}}}{R}}}{{2R - \frac{{2{R^2} - {r^2}}}{R}}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{SA}}{{AP}} = \frac{{2{R^2} - {r^2}}}{{{r^2}}}} και για R=3, r=2, είναι \displaystyle (OKSP) = 6\sqrt 2 ,\frac{{SA}}{{AP}} = \frac{7}{2}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1911
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σκαληνό τραπέζιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Οκτ 22, 2018 11:45 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 22, 2018 2:03 pm
Σκαληνό τραπέζιο.pngΟ μικρότερος κύκλος (K,r) έχει το κέντρο του πάνω στον μεγαλύτερο (O,R) .

Ένα από τα σημεία τομής τους είναι A , από το οποίο διέρχεται ευθεία παράλληλη

προς τη διάκεντρο , η οποία τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία S,P .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου OKPS . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{SA}{AP}

Εφαρμογή για : R=3 , r=2 .

\displaystyle PA \cdot PS = PK \cdot PB \Rightarrow x2R = 2{r^2} \Rightarrow \boxed{x = AP = \frac{{{r^2}}}{R}} \Rightarrow \boxed{AS = 2R - x = \frac{{2{R^2} - {r^2}}}{r}} και \displaystyle \boxed{\frac{{AS}}{{AP}} = \frac{{2{R^2}}}{{{r^2}}} - 1}

Με Π.Θ στο \displaystyle \vartriangle SKP \Rightarrow SK = \sqrt {4{R^2} - {r^2}}  \Rightarrow \left( {BSP} \right) = r\sqrt {4{R^2} - {r^2}} και \displaystyle \boxed{\left( {OKPS} \right) = \frac{3}{4}\left( {BSP} \right) = \frac{{3r\sqrt {4{R^2} - {r^2}} }}{4}}
σκαληνό τραπέζιο.png
σκαληνό τραπέζιο.png (18.51 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης