Τριπλή και διπλή ισότητα

KARKAR · #1

: Τριπλή και διπλή ισότητα.png (8.08 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ τα M,N

είναι τα μέσα των AB,AC

, ενώ τα

σημεία της

ώστε :

. α) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(MNS)}{(ABC)}$ , αν BP=PQ=QC

.

β) Πώς πρέπει να επιλέξουμε τα σημεία P,Q

, ώστε να είναι : (MNS)=(ABC)

και ποιος είναι ο λόγος : $\dfrac{BP}{PQ}$ , σ ' αυτήν την περίπτωση ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 18, 2018 12:26 pm
Τριπλή και διπλή ισότητα.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ τα είναι τα μέσα των , ενώ τα σημεία της

ώστε : . α) Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(MNS)}{(ABC)}$ , αν .

β) Πώς πρέπει να επιλέξουμε τα σημεία , ώστε να είναι :

και ποιος είναι ο λόγος : $\dfrac{BP}{PQ}$ , σ ' αυτήν την περίπτωση ;

α) Έστω

οι προβολές των M, A, S

στη

αντίστοιχα και

η προβολή του

στη

: Διπλή και τριπλή ισότητα.png (9.38 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

$\displaystyle \frac{{(MNS)}}{{(ABC)}} = \frac{{\frac{a}{2} \cdot SH}}{{a \cdot AK}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(MNS)}}{{(ABC)}} = \frac{{SH}}{{2AK}}}$ (1)

$\displaystyle \frac{{SP}}{{BM}} = \frac{{\frac{a}{3}}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{SP}}{{PM}} = 2 = \frac{{SZ}}{{ME}} \Leftrightarrow SZ = 2ME \Leftrightarrow SH = SZ + HZ = 3ME = \frac{{3AK}}{2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{SH}}{{AK}} = \frac{3}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\frac{{(MNS)}}{{(ABC)}} = \frac{3}{4}}$

β) Πρέπει $\displaystyle SH = 2AK = 4ME = 4ZH \Rightarrow \frac{{PQ}}{{MN}} = \frac{{SZ}}{{SH}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow PQ = \frac{{3a}}{8}$ και

$\displaystyle BP = QC = \frac{1}{2}\left( {a - \frac{{3a}}{8}} \right) = \frac{{5a}}{{16}} \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{BP}}{{PQ}} = \frac{5}{6}}$

Τριπλή και διπλή ισότητα

Τριπλή και διπλή ισότητα

Re: Τριπλή και διπλή ισότητα

Μέλη σε σύνδεση