Για τον ίδιο λόγο

#1

: Για τον ίδιο λόγο.png (10.81 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο

της διαμέσου

τριγώνου

γράφω κύκλο και ονομάζω

το ένα από τα δύο

σημεία στα οποία τέμνει την AC.

Αν

είναι το αντιδιαμετρικό του

και η

τέμνει την

στο

να δείξετε ότι

το

διαιρεί το τμήμα

στο ίδιο λόγο που το

διαιρεί το DC.

Xriiiiistos · #2

Θεωρούμε το σημείο

στην

ώστε

. Από θ. Θαλή έχουμε $\frac{EH}{BE}=\frac{HZ}{ZC}$

οπότε πρέπει να δείξω $\frac{HZ}{ZC}=\frac{AD}{DC}$ αρκεί να δείξω από αντίστροφο Θαλή DZ//AH

$T\equiv EZ\cap AM$ και επειδή EZ//BC

έχουμε

Αφού

μέσα των

αντίστοιχα έχουμε NT//DZ<=>AH//DZ

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 17, 2018 7:44 pm
Για τον ίδιο λόγο.png
Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο της διαμέσου τριγώνου γράφω κύκλο και ονομάζω το ένα από τα δύο

σημεία στα οποία τέμνει την Αν είναι το αντιδιαμετρικό του και η τέμνει την στο να δείξετε ότι

το διαιρεί το τμήμα στο ίδιο λόγο που το διαιρεί το

Κατασκευάζω τα παραλληλόγραμμα ENIB,NDCJ

Προφανώς το τετράπλευρο IBJC

είναι παραλληλόγραμμο άρα IM=MJ

και απο την ισότητα των τριγώνων $IKM=MGJ\Rightarrow IK=GJ$

Οπότε $\dfrac{KI}{KB}=\dfrac{GJ}{GC},\dfrac{NI}{BH}=\dfrac{NK}{KH}=\dfrac{KI}{KB},(1), \dfrac{DC}{AC}=\dfrac{NJ}{AC}=\dfrac{GN}{GA}=\dfrac{GJ}{GC},(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BE}{BH}$

εφόσον είναι IN//BH,NJ//AC

Γιάννης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 17, 2018 7:44 pm
Για τον ίδιο λόγο.png
Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο της διαμέσου τριγώνου γράφω κύκλο και ονομάζω το ένα από τα δύο

σημεία στα οποία τέμνει την Αν είναι το αντιδιαμετρικό του και η τέμνει την στο να δείξετε ότι

το διαιρεί το τμήμα στο ίδιο λόγο που το διαιρεί το

Με $\displaystyle BP,CQ//AM$ στο τραπέζιο $\displaystyle PQCB$ είναι $\displaystyle MN$ διάμεσος,άρα $\displaystyle PE = DQ$

$\displaystyle \frac{{HE}}{{EB}} = \frac{{PE}}{{EN}} = \frac{{QD}}{{DN}} = \frac{{AD}}{{DC}} \Rightarrow \boxed{\frac{{HE}}{{HB}} = \frac{{AD}}{{AC}}}$

: για τον ίδιο λόγο.png (14.92 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 17, 2018 7:44 pm
Για τον ίδιο λόγο.png
Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο της διαμέσου τριγώνου γράφω κύκλο και ονομάζω το ένα από τα δύο

σημεία στα οποία τέμνει την Αν είναι το αντιδιαμετρικό του και η τέμνει την στο να δείξετε ότι

το διαιρεί το τμήμα στο ίδιο λόγο που το διαιρεί το

: Για τον ίδιο λόγο.png (27.77 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές

Από τα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ φέρνω παράλληλες στη

που τέμνουν τη διάμεσο

στα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ . Προφανώς $\boxed{KD = LE}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{BM = MC}$ .

Επειδή $\left\{ \begin{gathered} \frac{{HE}}{{HB}} = \frac{{EL}}{{BM}} \hfill \\ \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{KL}}{{MC}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \dfrac{{HE}}{{HB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}$

#6

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις στο παρόν θέμα. Η δική μου προσέγγιση είναι ακριβώς ίδια με του Νίκου Φραγκάκη. Να αναφέρω απλώς ότι υπάρχει και λύση (εκτός φακέλου) με θεώρημα Μενελάου. Θα την ανεβάσω κάποια στιγμή αν δεν την γράψει κάποιος άλλος.

Για τον ίδιο λόγο

Για τον ίδιο λόγο

Re: Για τον ίδιο λόγο

Re: Για τον ίδιο λόγο

Re: Για τον ίδιο λόγο

Re: Για τον ίδιο λόγο

Re: Για τον ίδιο λόγο

Μέλη σε σύνδεση