Το μισό της βάσης

#1

: Το μισό της βάσης.png (8.13 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC(AB = AC)

, η κάθετος στο

επί τη

τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας $\widehat B$ στο σημείο

.

Η

τέμνει στο

, τη παράλληλη από το

στην

. Δείξετε ότι : BC = 2CD

.

Όλες οι λύσεις δεκτές, κι έχει πάρα πολλές !

#2

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 18, 2018 7:48 pm
Το μισό της βάσης.png

Στο ισοσκελές τρίγωνο , η κάθετος στο επί τη τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας $\widehat B$ στο σημείο .

Η τέμνει στο , τη παράλληλη από το στην . Δείξετε ότι : .

Όλες οι λύσεις δεκτές, κι έχει πάρα πολλές !

: Το μισό της βάσης.png (10.39 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

Έστω

το κοινό σημείο των DT, CD.

Από τη διχοτόμο, την κάθετη και τις παραλληλίες, οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες,

καθώς επίσης και οι μπλε. Από θ. διχοτόμου στο ACD:

$\displaystyle \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{AT}}{{TD}}\mathop = \limits^{AB||DE} \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DE}} \Leftrightarrow CD = DE$

Επειδή όμως BC=CE,

θα είναι $\boxed{BC=2CD}$

#3

Καλησπέρα σε όλους. Ας δούμε μια ακόμα γεωμετρική λύση.

: 19-08-2018 Γεωμετρία.jpg (28.76 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές

Προεκτείνουμε τις BC, AD

, που τέμνονται στο

. Φέρνουμε το ύψος

.

Από την ομοιότητα των CDK, ABK

, (λόγω της παραλληλίας CD//AB

), είναι $\displaystyle \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{{CK}}{{BK}}$ (1).

Από Θ. Θαλή για CT//AM

είναι $\displaystyle \frac{{CK}}{{MC}} = \frac{{KT}}{{AT}}$ (2).

Από Θ. Διχοτόμου στο ABK

είναι $\displaystyle \frac{{KT}}{{AT}} = \frac{{BK}}{{AB}}$ (3).

Από (2) και (3) είναι $\displaystyle \frac{{CK}}{{MC}} = \frac{{BK}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{CK}}{{BK}} = \frac{{MC}}{{AB}}$ (4).

Από (1) και (4) $\displaystyle \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AB}} \Leftrightarrow CD = MC \Leftrightarrow BC = 2CD$ .

STOPJOHN · #4

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 18, 2018 7:48 pm
Το μισό της βάσης.png

Στο ισοσκελές τρίγωνο , η κάθετος στο επί τη τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας $\widehat B$ στο σημείο .

Η τέμνει στο , τη παράλληλη από το στην . Δείξετε ότι : .

Όλες οι λύσεις δεκτές, κι έχει πάρα πολλές !

Εστω ότι $\hat{ABT}=\hat{TBC}=\hat{\omega },DC=x,\hat{DCE}=2\hat{\omega },\hat{ACT}=\hat{TCD}=90-2\omega ,AB=AC=b,$
Τοτε απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου είναι $\dfrac{AT}{TD}=\dfrac{b}{x},x=CD,(1)$

Τα τρίγωνα BIS,ICD

είναι ίσα και το τετράπλευρο BDCS

είναι παραλληλόγραμμο .Αρα SB=CD=x,SB//CD,

Από τη σχέση $(1)\Rightarrow \dfrac{AT}{TD}=\dfrac{AB}{BS}\Rightarrow SD//BTG$
Οπότε και το τετράπλευρο BSDG

είναι παραλληλόγραμμο και $CD=SB=DG,SD//BG\Rightarrow BC=CG=2CD$ εφόσον το τρίγωνο BCG

είναι ισοσκελές με $BC=CG,\hat{BGC}=\hat{GBC}=\omega$

Γιάννης

Το μισό της βάσης

Το μισό της βάσης

Re: Το μισό της βάσης

Re: Το μισό της βάσης

Re: Το μισό της βάσης

Μέλη σε σύνδεση