Το μισό της βάσης

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6657
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Το μισό της βάσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Αύγ 18, 2018 7:48 pm

Το μισό της βάσης.png
Το μισό της βάσης.png (8.13 KiB) Προβλήθηκε 375 φορές
Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC(AB = AC), η κάθετος στο C επί τη BC τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας \widehat B στο σημείο T.

Η AT τέμνει στο D, τη παράλληλη από το C στην AB. Δείξετε ότι : BC = 2CD.

Όλες οι λύσεις δεκτές, κι έχει πάρα πολλές !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8308
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το μισό της βάσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Αύγ 18, 2018 8:17 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Αύγ 18, 2018 7:48 pm
Το μισό της βάσης.png

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC(AB = AC), η κάθετος στο C επί τη BC τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας \widehat B στο σημείο T.

Η AT τέμνει στο D, τη παράλληλη από το C στην AB. Δείξετε ότι : BC = 2CD.

Όλες οι λύσεις δεκτές, κι έχει πάρα πολλές !
Το μισό της βάσης.png
Το μισό της βάσης.png (10.39 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές
Έστω E το κοινό σημείο των DT, CD. Από τη διχοτόμο, την κάθετη και τις παραλληλίες, οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες,

καθώς επίσης και οι μπλε. Από θ. διχοτόμου στο ACD: \displaystyle \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{AT}}{{TD}}\mathop  = \limits^{AB||DE} \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DE}} \Leftrightarrow CD = DE

Επειδή όμως BC=CE, θα είναι \boxed{BC=2CD}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4387
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Το μισό της βάσης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Αύγ 19, 2018 12:53 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ας δούμε μια ακόμα γεωμετρική λύση.

19-08-2018 Γεωμετρία.jpg
19-08-2018 Γεωμετρία.jpg (28.76 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές

Προεκτείνουμε τις BC, AD, που τέμνονται στο K. Φέρνουμε το ύψος AM.

Από την ομοιότητα των CDK, ABK, (λόγω της παραλληλίας CD//AB), είναι  \displaystyle \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{{CK}}{{BK}} (1).

Από Θ. Θαλή για CT//AM είναι  \displaystyle \frac{{CK}}{{MC}} = \frac{{KT}}{{AT}} (2).

Από Θ. Διχοτόμου στο ABK είναι  \displaystyle \frac{{KT}}{{AT}} = \frac{{BK}}{{AB}} (3).

Από (2) και (3) είναι  \displaystyle \frac{{CK}}{{MC}} = \frac{{BK}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{{CK}}{{BK}} = \frac{{MC}}{{AB}} (4).

Από (1) και (4)  \displaystyle \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AB}} \Leftrightarrow CD = MC \Leftrightarrow BC = 2CD .


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1809
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Το μισό της βάσης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Αύγ 19, 2018 2:48 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Αύγ 18, 2018 7:48 pm
Το μισό της βάσης.png

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC(AB = AC), η κάθετος στο C επί τη BC τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας \widehat B στο σημείο T.

Η AT τέμνει στο D, τη παράλληλη από το C στην AB. Δείξετε ότι : BC = 2CD.

Όλες οι λύσεις δεκτές, κι έχει πάρα πολλές !
Εστω ότι \hat{ABT}=\hat{TBC}=\hat{\omega },DC=x,\hat{DCE}=2\hat{\omega },\hat{ACT}=\hat{TCD}=90-2\omega ,AB=AC=b,
Τοτε απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου είναι \dfrac{AT}{TD}=\dfrac{b}{x},x=CD,(1)

Τα τρίγωνα BIS,ICD είναι ίσα και το τετράπλευρο BDCS
είναι παραλληλόγραμμο .Αρα SB=CD=x,SB//CD,
Από τη σχέση (1)\Rightarrow \dfrac{AT}{TD}=\dfrac{AB}{BS}\Rightarrow SD//BTG
Οπότε και το τετράπλευρο BSDG είναι παραλληλόγραμμο και CD=SB=DG,SD//BG\Rightarrow BC=CG=2CD εφόσον το τρίγωνοBCG είναι ισοσκελές με BC=CG,\hat{BGC}=\hat{GBC}=\omega




Γιάννης
Συνημμένα
Το μισό της βάσης.png
Το μισό της βάσης.png (56.95 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης