Ισότητα τμημάτων 41

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9807
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισότητα τμημάτων 41

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιούλ 12, 2018 11:22 am

Ισότητα  τμημάτων  41.png
Ισότητα τμημάτων 41.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές
Το O είναι το κέντρο του ημικυκλίου . Εξηγήστε γιατί είναι : ST=SQ .

Υπολογίστε τα μήκη αυτών των ίσων τμημάτων συναρτήσει της ακτίνας r .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5864
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισότητα τμημάτων 41

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 12, 2018 2:51 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 11:22 am
Ισότητα τμημάτων 41.pngΤο O είναι το κέντρο του ημικυκλίου . Εξηγήστε γιατί είναι : ST=SQ .

Υπολογίστε τα μήκη αυτών των ίσων τμημάτων συναρτήσει της ακτίνας r .
Το βλέπω ανάδρομα .

οσότητα τμημάτων 41.png
οσότητα τμημάτων 41.png (21.85 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές
Έστω ένα ημικύκλιο διαμέτρου \overline {AOB} , ακτίνας r = 5k\,\,,\,\,k > 0 και T σημείο

του για το οποίο TA = 6k , τότε το \vartriangle ABT \to (5,4,3)Φέρνω κάθετη το κέντρο

που τέμνει τη TB στο S. Προφανώς \vartriangle SBO \to (5,4,3) και αφού η πλευρά

του OB = 4t = 5k \Rightarrow \boxed{t = \frac{5}{4}k} δηλαδή το \vartriangle SBO έχει πλευρές:

\boxed{OS = 3t = \frac{{15}}{4}k}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{SB = 5t = \frac{{25}}{4}k} Αν τώρα P, σημείο της ακτίνας

OB με OP = k φέρνω τη TP που τέμνει την OS στο Q.

Στο \vartriangle BSO από το Θ. Μενελάου με διατέμνουσα \overline {SQO} έχω :

\dfrac{{BT}}{{TS}} \cdot \dfrac{{SQ}}{{QO}} \cdot \dfrac{{OP}}{{PB}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{8k}}{{\left( {8 - \dfrac{{25}}{4}} \right)k}} \cdot \dfrac{{SQ}}{{QO}} \cdot \dfrac{k}{{4k}} = 1 και άρα : \dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{{SQ}}{{QO}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{SQ}}{{QO}} = \dfrac{7}{8} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  SQ = \frac{7}{4}k \hfill \\ 
  QO = 2k \hfill \\  
\end{gathered}  \right. αλλά και

\boxed{TS = \left( {8 - \frac{{25}}{4}} \right)k = \frac{7}{4}k} συνεπώς ST = SQ

στο πιο κάτω σχήμα τα πράγματα φαίνονται πιο απλοποιημένα:
οσότητα τμημάτων 41_A.png
οσότητα τμημάτων 41_A.png (20.18 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισότητα τμημάτων 41

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 12, 2018 8:41 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 11:22 am
Ισότητα τμημάτων 41.pngΤο O είναι το κέντρο του ημικυκλίου . Εξηγήστε γιατί είναι : ST=SQ .

Υπολογίστε τα μήκη αυτών των ίσων τμημάτων συναρτήσει της ακτίνας r .
Έστω E η προβολή του T στη διάμετρο και OE=x.
Ίσότητα τμημάτων 41.png
Ίσότητα τμημάτων 41.png (16.89 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές
\displaystyle \frac{{PO}}{{PE}} = \frac{{OQ}}{{TE}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{r}{5}}}{{\frac{r}{5} + x}} = \frac{{\frac{{2r}}{5}}}{{\sqrt {r - x} \sqrt {r + x} }} \Leftrightarrow 125{x^2} + 40rx - 21{r^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{x > 0} \boxed{x=\frac{7r}{25}}

\displaystyle \frac{{EP}}{{PB}} = \frac{{\frac{{7r}}{{25}} + \frac{r}{5}}}{{\frac{{4r}}{5}}} = \frac{3}{5},\frac{{TE}}{{TB}} = \frac{{\sqrt {r - x} \sqrt {r + x} }}{{\sqrt {2r} \sqrt {r + x} }} = \sqrt {\frac{{r - x}}{{2r}}}  = ... = \frac{3}{5}, άρα η TP διχοτομεί τη

γωνία E\widehat TB και κατά συνέπεια \boxed{ST=SQ}

Με Θαλή παίρνουμε \displaystyle QT = \frac{{7r\sqrt 5 }}{{25}} κι επειδή \displaystyle \cos \varphi  = \frac{2}{{\sqrt 5 }} με νόμο συνημιτόνων βρίσκουμε \boxed{ST=SQ=\frac{7r}{20}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης