Πάρτυ δευτερευόντων

Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12735
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πάρτυ δευτερευόντων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μάιος 29, 2018 9:28 pm

Πάρτυ  δευτερευόντων.png
Πάρτυ δευτερευόντων.png (12.74 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές
Από σημείο S της διχοτόμου AD , τριγώνου \displaystyle ABC , φέρουμε : SQ \perp AB

και  ST \perp AC . Το τμήμα QT τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο P . Δείξτε

ότι το τμήμα PS , είναι παράλληλο προς το ύψος AD του τριγώνου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1660
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Πάρτυ δευτερευόντων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Μάιος 29, 2018 10:31 pm

Έστω K ο νότιος πόλος του \vartriangle ABC.

Από τον ορισμό του νότιου πόλου, τα A,S,K είναι συνευθειακά, και KM \perp BC.

Φέρνουμε KL \perp AB, KN \perp AC. Από το Θ. Simson, τα L,M,N είναι συνευθειακά.

Είναι (χρησιμοποιούμε την προφανή εγγραψιμότητα των AQST, ALKN) \widehat{ATQ}=\widehat{ASQ}=\widehat{AKL}=\widehat{ANL} \Rightarrow \widehat{ATQ}=\widehat{ANL} \Rightarrow QT \parallel LN.

Ακόμη, SQ \perp AL, KL \perp AL \Rightarrow QS \parallel LK \Rightarrow \dfrac{AS}{SK}=\dfrac{AQ}{QL} (1).

Αφού QT \parallel LN, και L,M,N συνευθειακά, είναι QP \parallel LM \Rightarrow \dfrac{AQ}{QL}=\dfrac{AP}{PM} (2).

Από (1), (2), \dfrac{AP}{PM}=\dfrac{AS}{SK} \Rightarrow PS \parallel MK \Rightarrow PS \perp BC \Rightarrow PS \parallel AE, και τελειώσαμε.
KARKAR.png
KARKAR.png (36.94 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8089
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πάρτυ δευτερευόντων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μάιος 29, 2018 10:58 pm

Πολύ ωραία λύση από τον εύστροφο Ορέστη . :clap2:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2098
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Πάρτυ δευτερευόντων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μάιος 29, 2018 11:33 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μάιος 29, 2018 9:28 pm
Πάρτυ δευτερευόντων.pngΑπό σημείο S της διχοτόμου AD , τριγώνου \displaystyle ABC , φέρουμε : SQ \perp AB

και  ST \perp AC . Το τμήμα QT τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο P . Δείξτε

ότι το τμήμα PS , είναι παράλληλο προς το ύψος AD του τριγώνου .

Έστω ότι \displaystyle K,L είναι οι ορθές προβολές του \displaystyle P στις \displaystyle AB,\displaystyle AC αντίστοιχα.

Επειδή \displaystyle x = y \Rightarrow \vartriangle KQP \simeq \vartriangle LPT \Rightarrow \frac{{KQ}}{{LT}} = \frac{{KP}}{{PL}}(1)

Με \displaystyle MN \bot AC και \displaystyle MZ \bot AB \Rightarrow KP//MZ και \displaystyle MN//PL,άρα \displaystyle \frac{{KP}}{{ZM}} = \frac{{PL}}{{MN}} = \frac{{AP}}{{AM}}(2)

Από \displaystyle (1), \displaystyle (2) έχουμε \displaystyle \frac{{KQ}}{{LT}} = \frac{{ZM}}{{MN}}

Αλλά \displaystyle \left( {ABM} \right) = \left( {AMC} \right) \Rightarrow AB \cdot MZ = AC \cdot MN \Rightarrow \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{MZ}}{{MN}} κα τελικά \displaystyle \boxed{\frac{{KQ}}{{AC}} = \frac{{TL}}{{AB}}}

Έτσι,σύμφωνα με το θεώρημα Στάθη Κούτρα, \displaystyle PS \bot BC \Rightarrow PS//AE
πάρτυ δευτερευόντων.png
πάρτυ δευτερευόντων.png (37.31 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2098
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Πάρτυ δευτερευόντων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Μάιος 30, 2018 2:01 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Μάιος 29, 2018 9:28 pm
Πάρτυ δευτερευόντων.pngΑπό σημείο S της διχοτόμου AD , τριγώνου \displaystyle ABC , φέρουμε : SQ \perp AB

και  ST \perp AC . Το τμήμα QT τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο P . Δείξτε

ότι το τμήμα PS , είναι παράλληλο προς το ύψος AD του τριγώνου .
Αλλιώς..

H κάθετη στην \displaystyle SP στο \displaystyle P τέμνει την \displaystyle AB στο \displaystyle K και την \displaystyle AC στο \displaystyle L

Λόγω των ίσων γωνιών \displaystyle x,y και των εγγράψιμων \displaystyle KPSQ,PSLT \Rightarrow \angle KSP = \angle LSP \Rightarrow KP = PL

Έτσι \displaystyle \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{KP}}{{PL}} = 1.Άρα \displaystyle KL//BC \Rightarrow PS \bot BC \Rightarrow \boxed{PS//AE}
πάρτυ δευτερευόντων..png
πάρτυ δευτερευόντων..png (20.44 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης